Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера, методом Гаусса та за допомогою оберненої матриці. Теорема Кронекера-Капеллі, її застосування до дослідження і розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь

а через визначник, який одержується із визначника  шляхом заміни го стовпця стовпцем вільних членів

                  

            Теорема (правило Крамера). Якщо визначник  системи  лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими (4.2) відмінний від нуля, то система має розв’язок і при тому єдиний, який знаходиться за

формулами

                                                 

            Д о в е д е н н я. Доведемо спочатку, що  які обчислюються за формулами (4.5), є розв’язками системи (4.2). Підставивши  в довільне е рівняння системи одержимо

Тобто, ми показали що довільне рівняння системи (4.2) перетворюється в числову рівність при роз’язках (4.7).

            Ми тут використали властивості сум, а також властивість визначників п.1.2.

            Доведемо тепер єдиність розв’язку. Доведемо це від протилежного. Нехай існує ще один розв’язок  Тоді будемо мати

  

Віднімаючи від першої рівності другу, одержимо

Якщо розв’язки не співпадають, то хоча б одна із різниць відмінна від нуля. Це означало б, що стовпці матриці лінійно залежні, а тоді визначник матриці  буде дорівнювати нулю, що протирічить умові теореми. Значить, наше припущення не вірне. Отже,  Теорема доведена.

4.2.2. Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці

  Систему запишемо у матричному вигляді

Домноживши дану рівність зліва на обернену матрицю одержимо

Отже, розв’язок системи в матричній формі запишеться так:

Приклад. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а) за формулами Крамера;   б) засобами матричного числення:

а) Обчислимо визначник системи

обчислимо також

Тоді за формулами Крамера (4.7) одержимо

б) Запишемо систему в матричній формі де

Знайдемо обернену матрицю :

                        4.2.3. Метод Жордана-Гаусса