Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду. Приведення рівняння кривої другого порядку на площині до канонічного вигляду на основі теорії квадратичних форм. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки

Приклад. 1. Дані балансу трьох галузей промисловості за деякий період записані в табл.1. Потрібно знайти об’єм валового випуску продукції, якщо кінцеве споживання за галузями збільшити відповідно до 60, 70 і 30.

Таблиця 1

№

п/пГалузьСпоживанняКінце-вий

продуктВало-вий випуск

Р о з в ‘я з о к. Випишемо вектори валового випуску і кінцевого споживання та матрицю коефіцієнтів прямих затрат. Згідно формул (4.36) і (4.38),

Матриця задовольняє обидва критерії продуктивності. У випадку заданого збільшення кінцевого споживання новий вектор кінцевого продукту буде мати вигляд .

Потрібно знайти новий вектор валового випуску , що задовольняє співвідношенням балансу в припущенні, що матриця не зміниться. В такому випадку компоненти невідомого вектора знаходяться із системи рівнянь, яка в матричній формі має вигляд (4.37) або де матриця має вигляд

Звідси розраховується новий вектор як розв’язок рівняння

Знайдемо обернену матрицю (матрицю повних затрат ) (обчислення проводимо з точністю до третього знаку):

.

Зауважимо, що знайдена обернена матриця задовольняє першому критерію продуктивності матриці

Тепер вичислюємо вектор валового випуску

Таким чином, для того щоби забезпечити задане збільшення компонент вектора кінцевого продукту, необхідно збільшити відповідні валові випуски: добування і переробку вуглеводів на 52,2%, рівень енергетики – на 35,8% і випуск машинобудування – на 85% в порівнянні з початковими величинами, що приведені в табл.1.

4.5.2. Лінійна модель торгівлі

Процес взаємних закупок товарів аналізується з

використанням понять власного числа і власного вектора матриці. Припустимо, що бюджети країн витрачаються на покупку товарів. Розглянемо лінійну модель обміну, або модель міжнародної торгівлі.

Нехай доля бюджету яку а країна витрачає на закупку товарів у ої країни. Введемо матрицю коефіцієнтів

Тоді, якщо весь бюджет витрачається тільки на закупки всередині країни і зовні неї (це можна трактувати як торговий бюджет), справедлива рівність

Матриця (4.41) із властивістю (4.42) називається структурною матрицею торгівлі. Для ої країни загальна виручка від внутрішньої і зовнішньої торгівлі виражається формулою

Умова збалансованої (бездефіцитної) торгівлі формулюється природнім чином: для кожної країни її бюджет повинен бути не більшим за виручку від торгівлі, тобто або