Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду. Приведення рівняння кривої другого порядку на площині до канонічного вигляду на основі теорії квадратичних форм. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки

У цьому випадку будемо мати або еліптичний, або гіперболічний параболоїд, або пару площин, що перетинаються, або пару уявних площин, що перетинаються по спільній дійсній осі. Якщо в (4.31) , то матимемо ще крім того еліптичний циліндр (дійсний або уявний), гіперболічний циліндр. І тут читачеві слід вияснити, за яких умов можуть трапитись вказані випадки.

Нехай серед величин дві, наприклад і, дорівнюють нулю. Тоді (4.30) набере вигляду

Тут, звичайно, можна підібрати так, щоб. Тоді рівність (4.32) запишеться так:

Далі здійснимо підстановку

Вона зведе останню рівність до такої:

Поверхня (4.34) є параболічним циліндром з твірними, паралельними осі , а його напрямною є парабола.

Якщо в (4.34) , то одержимо рівняння

При це рівняння описує пару уявних паралельних площин, а при - пару дійсних паралельних площин.

Якщо в (4.33) , то (4.33) - пара площин, що збігаються.Зведення рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду здійснюється за тією ж схемою, що й рівняння (4.24). Різниця лише в тому, що змінних тут на одну менше, а тому характеристичне рівняння буде не кубічним, а квадратним; систем рівнянь для знаходження власних векторів буде лише дві і при тому ще кожна система рівнянь складатиметься не з трьох рівнянь, а з двох.

Приклад 2. Визначити, яку криву визначає рівняння

і побудувати її.

Р о з в ’ я з о к. Характеристичне рівняння має вигляд

Розв’язавши це рівняння, одержимо . Знайдемо тепер власні вектори. Якщо , маємо таку систему рівнянь для знаходження власного вектора :

Звідси знаходимо .

При маємо систему рівнянь

Зводимо власні вектори і до одиничних:

Отже, перетворення координат записується так:

Лінійна частина рівняння набуває вигляду

Задане рівняння стає таким:

Якщо здійснити в цьому рівнянні паралельне перенесення системи координат за формулами , то, прирівнявши до нуля коефіцієнти при і розв’язавши відповідну систему рівнянь одержимо

Рівняння відносно і набирає найпростішої (канонічної ) форми:

еліпс.