Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду. Приведення рівняння кривої другого порядку на площині до канонічного вигляду на основі теорії квадратичних форм. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки

Із заміни маємо ( при транспонуванні добутку матриць змінюється порядок перемноження матриць). Підставивши в (4.22) замість їх вирази, одержимо

Теорема. Якщо матриця симетрична, то симетричною є і матриця .

Д о в е д е н н я. . Згідно з означенням симетричної матриці теж симетрична, що і треба було довести.

З теореми і заміни випливає, що є матрицею квадратичної форми, після заміни змінної. Оскільки - ортогональна матриця, тобто , то . Матрицю можна підібрати так (див.п.4.3.4, властивість 60), щоб

Числа є власними значеннями матриці .

Якщо рівняння (4.19) має всі різні корені, то розв’язавши систему рівнянь (4.18) для кожного , одержимо взаємно ортогональних власних векторів:

Оскільки матриця - ортогональна,

Зауваження. Після знаходження власних значень матриці із і розв’язання системи рівнянь (4.18) одержимо власні вектори , які взагалі кажучи, не будуть одиничними. В такому разі з них можна одержати одиничні, поділивши кожний з них на його довжину Після такої операції уже будуть виконуватись умови (4.23). У нових змінних задана квадратична форма набуває вигляду

Приклад 1 . Звести квадратичну форму до канонічного вигляду і знайти перетворення, з допомогою якого здійснюється це зведення .

Р о з в ’я з о к. Матриця квадратичної форми така:

Характеристичне рівняння має вигляд (всі власні значення різні).

Припустимо, що деякий корінь рівняння (4.19) є -кратним. Підставивши в систему (4.18) замість корінь , одержимо одномірну систему, що має лінійно незалежних розв’язків. Це означає, що система (4.18) зведеться до рівнянь. Знайдемо який-небудь ненульовий розв’язок цієї системи і запишемо відповідний йому вектор .Вважатимемо його зведеним до одиничного. Якщо він спочатку був неодиничним, то діленням його на одержимо одиничний вектор. Щоб знайти наступний вектор, додамо до рівнянь системи (4.18) ще одне рівняння, що виражає ортогональність нового шуканого вектора до вже знайденого . Тоді одержимо систему з рівнянь. Знайшовши її розв’язок, перейдемо до знаходження третього вектора, що відповідає власному значенню . Для цього додамо до основних рівнянь системи ще два рівняння, що виражають ортогональність нового вектора до знайдених двох, і так далі - поки не побудуємо всю сукупність одиничних взаємно ортогональних векторів, що відповідають кореню рівняння (4.19) кратності . У частинному випадку, коли і рівняння (4.19) має двократний корінь , то, знайшовши з (4.18) один вектор , другий знайдемо з умови . У випадку, коли рівняння (4.19) має трикратний корінь при , то знайшовши з системи (4.18) один вектор , другий знайдемо з умови , а третій знайдемо з умови , тобто є векторним добутком векторів і.

4.4.3. Зведення загального рівняння поверхні (лінії) другого порядку до канонічного виглядуКвадратичними формами від трьох змінних описується ряд поверхонь тривимірного простору. Вивчення їх властивостей, наприклад, однопорожнинного гіперболоїда, привело до можливості вирішення цікавих, високої міцності технічних конструкцій при малих затратах матеріалу і простоти їх реалізації. Прикладами таких споруд є конструкції інженера В.Г.Шухова (1853-1939) (водонапірний резервуар у м. Конотопі Сумської області, телевежа Шухова у Москві, щогли, башти, опори тощо).

У сучасний період, коли інтенсивно використовуються ЕОМ, навіть при обробці складних поверхонь важливих деталей машин і установок за допомогою копіювально-фрезерних верстатів, конструктор прагне задавати контури деталей аналітичними поверхнями. Питання зведення заданої матриці до діагональної форми і розшукання матриці, за допомогою якої здійснюється це зведення, є алгебраїчним аналогом того факту сучасної квантової механіки, згідно з яким матрична механіка Гейзенберга по суті рівнозначна хвильовій механіці Шредінгера. Різниця тут полягає лише в тому, що в подібних питаннях доводиться мати справу з простором, що має нескінченну кількість вимірів. Але для вивчення таких питань обмежитись лише рамками звичайної алгебри неможливо, потрібний вихід в апарат аналізу.