Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду. Приведення рівняння кривої другого порядку на площині до канонічного вигляду на основі теорії квадратичних форм. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки

План

•Квадратична форма, її канонічний вигляд.

•Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

•Зведення загального рівняння лінії (поверхні) до канонічного вигляду.

•Модель Леонт’єва багатогалузевої економіки.

•Лінійна модель торгівлі.

Квадратичні форми і зведення їх до канонічного вигляду

Квадратична форма, її канонічний вигляд

Квадратичною формою називається однорідний многочлен другого степеня відносно змінних Квадратична форма має вигляд

причому - дійсні коефіцієнти.

Наприклад, квадратична форма двох змінних і має такий вигляд:

оскільки

Якщо через позначити матрицю а через матрицю-стовпчик то рівність (4.20) можна записати в матричній формі

де

Через те, що в матриці , матриця є симетричною. Читачеві рекомендується перевірити формулу (4.20) звівши її до вигляду (4.19), користуючись явними записами матриць .

Симетрична матриця називається матрицею квадратичної форми. Якщо матриця має діагональний вигляд, то такий вигляд квадратичної форми називається канонічним виглядом.

Нехай тоді канонічний вигляд квадратичної форми буду таким:

Приведемо без доведення дві теореми про канонічний вигляд квадратичної форми ( доведення цих теорем див., наприклад, в підручнику Д.В.Беклемишева. Курс аналитической геометри и линейной алгебры ).

Теорема 1. Для кожної квадратичної форми існує базис, в якому вона має канонічний вигляд.

Теорема 2. (закон інерції квадратичних форм). Число додатних і від’ємних коефіцієнтів в канонічному вигляді квадратичної форми не залежить від вибору базису, в якому вона приведена до канонічного вигляду.

4.4.2. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду

У формулі (4.20/) виконаємо заміну

Матриця, обернена до якої співпадає з транспонованою, називається ортогональною.