Векторна алгебра

ВЕКТОРНА АЛГЕБРА - розділ векторного числення в якому вивчаються найпростіші операції над (вільними) векторами. До числа операцій відносяться лінійні операції над векторами: операція додавання векторів і множення вектора на число.

Сумою a+b векторів a і b називають вектор , проведений з початку a до кінця b , якщо кінець a і початок b сполучені. Операція додавання векторів має властивості:

a+b=b+a (комутативність)

(а+b)*з=а*(b+с) (асоціативність)

a + 0=a (наявність нульового елементу )

a+(-a)=0 (наявність протилежного елементу),

де 0 - нульовий вектор, -a є вектор, протилежний вектору а. Різницею a-b векторів a і b називають вектор x такий, що x+b=a.

Добутком x вектора а на число  у випадку 0, аПро називають вектор, модуль якого дорівнює |||a| і який спрямований у ту ж сторону, що і вектор a, якщо >0, і в протилежну, якщо <0. Якщо =0 чи (і) a =0, то a=0. Операція множення вектора на число має властивості:

(*(a+b)= (*a+(*b (дистрибутивність щодо додавання векторів)

((+u)*a=(*a+u*a (дистрибутивність щодо додавання чисел)

*(u*a)=(*u)*a (ассоциативність)

1*a=a (множення на одиницю)

Безліч усіх векторів простору з введеними в ньому операціями додавання і множення на число утворить векторний простір (лінійний простір).

У Векторній алгебрі важливе значення має поняття лінійної залежності векторів. Вектори а, b, … , с називаються лінійно залежними векторами, якщо існують числа який хоча б одне відмінно від нуля, такі, що справедливо рівність:

Для лінійної залежності двох векторів необхідна і достатня їх коллінеарність, для лінійної залежності трьох векторів необхідна і достатня їх компланарність. Якщо один з векторів а, b, ...,c нульовий, то вони лінійно залежні. Вектори a,b, ..,з називаються лінійно незалежними, якщо з рівності (1) випливає, що числа , ,…,дорівнюють нулю. На площині існує не більш двох, а в тривимірному просторі не більш трьох лінійно незалежних векторів.

Сукупність трьох (двох) лінійно незалежних векторів e1,e2,e3 тривимірні простори (площини), узятих у визначеному порядку, утворить базис. Любою вектор а єдиний образ представляється у виді суми:

a=a1e1+a2e2+a3e3.

Числа a1,a2,a3 називають координатами (компонентами) вектора а в даному базисі і пишуть a={a1,a2,a3}.

Два вектори a={a1,a2,a3} і b={b1,b2,b3} рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхній відповідні координати в тому самому базисі. Необхідною і достатньою умовою коллінеарності векторів a={a1,a2,a3} і b={b1,b2,b3} ,b0, є пропорційність їхній відповідних координат: a1=b1,a2=b2,a3=b3. Необхідною і достатньою умовою компланарності трьох векторів a={a1,a2,a3} , b={b1,b2,b3} і c={c1,c2,c3} є рівність :