Розклад функцій в степеневий ряд. Достатні умови розкладу в ряд Тейлора. Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення

Нехай, наприклад, потрібно знайти розв’язок диференціального рівняння другого порядку

що задовольняє початковій умові

Припустимо, що розв’язок існує і представляється у вигляді ряду Тейлора (13.52):

Виходячи із рівняння та умов, можна знайти тобто значення похідних від частинного розв’язку при

Дійсно, з умов (13.67) випливає, що

Із рівняння одержимо:

Диференціюючи обидві частини рівняння по

і підставляючи значення в праву частину . одержимо

Диференціюючи співвідношення ще раз, знайдемо:

Приклад 1. Записати три перших, відмінних від нуля, члени розкладу в степеневий ряд за степенями розв’язку диференціального рівняння

,

що задовольняє початкову умову

Р о з в ’ я з о к. Розв’язок даного диференціального рівняння запишемо у вигляді ряду за степенями

Із рівняння знаходимо Диференціюючи рівняння по одержимо

Якщо рівняння лінійне, то зручніше шукати коефіцієнти розкладу частинного розв’язку за методом невизначених коефіцієнтів.

Для цього шукаємо розв’язок у вигляді степеневого ряду

,

підставляємо його безпосередньо в диференціальне рівняння та прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях в різних частинах рівняння.

Приклад 2. Знайти перших 5 членів розкладу в степеневий ряд розв’язку диференціального рівняння

з початковими умовами

Р о з в ’ я з о к. Запишемо розв’язок рівняння у вигляді степеневого ряду

Продиференціюємо його почленно два рази

В силу початкових умов Підставляємо і в диференціальне рівняння ( для використаємо ряд ):

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях одержимо систему рівнянь

із якої послідовно знаходимо