Розклад функцій в степеневий ряд. Достатні умови розкладу в ряд Тейлора. Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення

Звідси одержимо коефіцієнти ряду

Ці коефіцієнти називаються біноміальними.

Підставляючи їх в ряд, одержимо

Якщо ціле додатне число, то, починаючи з члена, що містить всі коефіцієнти дорівнюють нулю і ряд перетворюється в многочлен (біном Ньютона). При дробовому або цілому від’ємному одержимо безмежний ряд. Визначимо його радіус збіжності:

Таким чином, ряд збігається при

В інтервалі даний ряд представляє функцію , що задовольняє даному диференціальному рівнянню з початковою умовою Оскільки дане диференціальне рівняння з початковою умовою має єдиний розв’язок, то сума ряду тотожньо дорівнює функції , і ми маємо розклад функції в ряд:

Ряд називається біноміальним рядом.

Зокрема, при одержимо:

При будемо мати:

Біноміальний ряд можна використовувати для наближених обчислень значень функцій із заданою точністю.

Приклад. Обчислити з точністю

Р о з в ‘ я з о к. Представимо підкореневе число так і тоді

Підставивши в ряд замість а одержимо:

Оскільки це знакозмінний ряд можна оцінити за теоремою Лейбніца залишок ряду

а тому з точністю до маємо:

2. Розклад в степеневий ряд деяких функцій. Застосуємо біноміальний ряд до розкладу інших функцій. Підставивши в ряд замість вираз одержимо:

На основі теореми про інтегрування степеневих рядів одержимо при :

Аналогічно, підставляючи в ряд замість вираз одержимо ряд

Інтегруючи даний ряд, будемо мати

Цей ряд збігається в інтервалі . Можна було б довести, що ряд збігається при і що для цих значень сума ряду також дорівнює Тоді, поклавши в ряд одержимо формулу для обчислення числа :

3. Розклад в степеневий ряд функції

Інтегруючи рівність в межах від до, одержимо:

Ця рівність справедлива на інтерваліЗамінюючи в формулі на , одержимо ряд