Розклад функцій в степеневий ряд. Достатні умови розкладу в ряд Тейлора. Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення

План

•Ряди Тейлора і Маклорена

•Достатні умови розкладу в ряд Тейлора

•Приклади розкладу функцій в ряди

•Біноміальний ряд

•Обчислення означених інтегралів за допомогою рядів

•Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів

13.11. Ряди Тейлора і Маклорена

Для функції що має всі похідні до го порядку включно, в околі деякої точки справедлива формула Тейлора:

де залишковий член у формі Лагранжа обчислюється за формулою

Якщо функція має похідні всіх порядків в околі точки то у формулі Тейлора число можна брати як завгодно великим. Припустимо, що в околі точки залишковий член прямує до нуля при :

Тоді, перейшовши у формулі до границі при одержимо безмежний ряд, який називається рядом Тейлора:

Остання рівність справедлива лише в тому випадку, коли Тоді написаний справа ряд збігається і його сума дорівнює даній функції

Але є а частинна сума ряду, її границя дорівнює сумі ряду, що стоїть в правій частині рівності. Отже, рівність справедлива.

Із попереднього випливає, що ряд Тейлора представляє деяку функцію тільки тоді, коли Якщо то ряд не представляє даної функції, хоча й може збігатися (до іншої функції).

Якщо в ряді Тейлора покласти то одержимо частинний випадок ряду Тейлора, який називається рядом Маклорена:

Для кожної із елементарних функцій існують такі і , що в інтервалі вона розкладається в ряд Тейлора (Маклорена).

13.12. Приклади розкладу функцій в ряди

1. Розклад в ряд Маклорена функції

Формула Маклорена для функції має вигляд

Доведемо, що при довільному фіксованому . Дійсно,

Якщо фіксоване число, то знайдеться таке ціле додатне число що

Введемо позначення де ; тоді можемо написати при і т.д.

Але величина постійна, тобто не залежить від, а прямує до нуля при Тому