Розклад функцій в степеневий ряд. Достатні умови розкладу в ряд Тейлора. Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення

Оскільки то при всіх

значеннях Отже, ряд Маклорена має такий вигляд:

Залишковий член прямує до нуля при довільному, а тому даний ряд збігається і в якості суми має функцію при довільному

2. Розклад в ряд Маклорена функції

Аналогічно, виходячи із формули Маклорена для функції одержимо ряд

який збігається при всіх значеннях і представляє функцію

3. Розклад в ряд Маклорена функції

Формула Маклорена для функції має такий вигляд:

Оскільки то величина при фіксованому обмежена а, значить

при довільному

Отже, ряд Маклорена для функції має такий вигляд:

який для всіх значень збігається і представляє функцію

Замінивши в розкладі на , одержимо ряд

Цими рядами користуються для наближених обчислень значень функцій.

Приклад. Обчислити з точністю

Р о з в ‘ я з о к. Підставляючи в ряд замість одержимо

Це знакочергуючий ряд. Оскільки, то з точністю до маємо

13.13. Біноміальний ряд

1. Розклад в ряд функції Розкладемо в ряд функцію де довільне ціле число.

Замітимо, що функція задовольняє диференціальному рівнянню

з початковою умовою

Знайдемо такий степеневий ряд, сума якого задовольняє даному рівнянню з початковою умовою :

Підставляючи його в диференціальне рівняння, одержимо

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях знаходимо:

.