Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку

Побудована система розв’язків називається нормованою в точці .

Для будь-якого диференціального рівняння (5.5) існує тільки одна фундаментальна система розв’язків , нормована по моменту .

6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків.

Теорема 5.4. Якщо (x), (x), - фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5.5) , то формула

y де - довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5) в області a < x < b,

тобто в області визначення

диференціального рівняння (5.5).

Доведення. Якщо (x), (x), - розв’язки диференціального рівняння (5.5) , то лінійна комбінація (5.20) теж розв’язок .

Систему (5.22) можна розв’язати відносно

в області (5.21) , так як . Згідно визначення (5.20) – загальний розв’язок і він містить в собі всі розв’язки диференціального рівняння (5.5) .

Теорема доведена .

Для знаходження частинного розв’язку такого , що

необхідно все підставити в (5.22) і визначити , i=1,2,…,n .

Тоді - частинний розв’язок , якщо фундаментальна система розв’язків – нормована в точці , то , тобто

(5.24) загальний розв’язок в формі Коші .Зауважимо , що загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5) є однорідна лінійна функція від довільних констант .

Твердження 5.1. Диференціальне рівняння (5.5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розв’язків.

Дійсно , нехай ми маємо (n+1) частинний розв’язок . Розглянемо n перших . Якщо вони лінійно залежні , то і всі будуть лінійно залежні , так як , a < x < b, де всі не дорівнють нулю . Якщо ж вони лінійно залежні, то по теоремі 5.4. будь-який розв’язок, в тому числі і виражається через тобто Так , що (n+1)-ий розв’язок знову виявився лінійно залежним .

Для побудови диференціального рівняння типу (5.5) по системі лінійно незалежних функцій (x), (x), які n раз неперервно диференційовані на (a,b) , вронскіан яких, (a,b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1)

= 0

і розкрити цей визначник по останньому стовпцю .

Якщо відомо один частинний ненульовий розв’язок диференціального рівняння (5.5) , то можна понизати порядок його на одиницю заміною

і диференціального рівняння (5.5) запишемо у вигляді

Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) .