Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку

де - постійні числа не рівні нулю одночасно . В противному випадку функції (x), (x), називають лінійно залежними на (a,b).

Для двох функцій поняття лінійної незалежності на (a,b) зводиться до того, щоб відношення функцій , не було постійним на (a,b).

Зауваження 5.1. Якщо одна із функцій на (a,b) тотожньо дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні.

Приклад 5.3. Функції =1, =x, - лінійно незалежні на будь-якому інтервалі (a,b) . Дійсно співвідношення

в якому не всі дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x , так як рівняння (n-1) – го степеня має не більше (n-1) – го коренів.

Приклад 5.4. Функції , - лінійно незалежні, так як співвідношення , де не рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з = .

Приклад 5.5. Функції sin x , cos x , 1 – лінійно залежні на , так як для будь-якого х справджується співвідношення

sin x + cos x – 1 = 0 .

Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n - функцій .

Теорема 5.1. Якщо функції (x), (x), - лінійно залежні на (a,b) , то їх вронскіан W (x) тотожньо дорівнює нулю на (a,b) . Тут

Доведення. Згідно умови теореми

де не всі одночасно рівні нулю .

Диференціюємо (5.15) (n-1)-раз і підставляємо в (5.14)

Розкладаючи визначник (5.16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже

W (x) 0 , a < x < b. Теорема доведена.Нехай кожна з функцій (x), (x), - розв’язок диференціального рівняння (5.5) . Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих

розв’язків даються теоремою 5.1. і слідуючою теоремою .

Теорема 5.2. Якщо функції (x), (x), ... , - суть лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння (5.5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a,b) , то вронскіан цих розв’язків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a,b) .

Доведення. Припустимо протилежне , що в точці (a,b) . Складемо систему рівнянь

Так як визначник системи (5.17) , то вона має ненульовий розв’язок

. Розглянемо функцію y (5.18)

яка являється розв’язком диференціального рівняння (5.5).

Система (5.17) показує , що в точці розв’язок (5.18) перетворюється в нуль разом із своїми похідними до (n-1) –го порядку . В силу теореми існування і єдиності це значить , що має місце тотожність y (x) = , a < x < b, де не всі дорівнюють нулю . Останнє означає , що розв’язки (x), (x), ... , - лінійно залежні на (a,b). Це протиріччя і доводить теорему.