Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку

З теорем 5.1. і 5.2. випливає : для того , щоб n розв’язків диференціального рівняння (5.5) були лінійно незалежними на (a,b) необхідно і достатньо , щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу.

Виявляється , для вияснення лінійної незалежності n розв’язків диференціального рівняння (5.5) достатньо переконатися , що W (x) не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a,b) . Це випливає з наступних властивостей вронскіана від n розв’язків диференціального рівняння (5.5):

а) Якщо вронскіан дорівнює нулю в одній точці (a,b) і всі коєфіцієнти диференціального рівняння (5.5) являються неперервними , то на (a,b).

Дійсно, якщо , то по теоремі 5.2. функції (x), (x), - лінійно залежні на (a,b). Тоді , по теоремі 5.1. на (a,b);

б) якщо вронскіан n розв’язків диференціального рівняння (5.5) відмінний від нуля в одній точці (a,b) , то на (a,b) .

Дійсно , якби W (x) дорівнював в одній точці з (a,b) нулю , то згідно а) на (a,b) , в тому числі і в точці (a,b) , що протирічить умові.

Звідси випливає , якщо n розв’язків диференціального рівняння (5.5) лінійно незалежні на (a,b) , то вони будуть лінійно незалежні на будь-якому (a,b) .

4. Формула Остроградського – Ліувілля.

Ця формула має вигляд

Доведення . Розглянемо вронскіан W (x) = і обчислимо його похідну

Перших (n-1)-визначників рівні нулю , так як всі вони мають по дві однакових стрічки . Далі домножимо (n-1) стрічки останнього визначника відповідно на і складемо всі n стрічок . В силу диференціального рівняння маємо

Звідки маємо формулу (5.19) .

5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування.

Означення 5.5. Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5.5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв’язків .

З попереднього випливає , для того , щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5.5) була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо , щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5.5) . Всі ці розв’язки повинні бути бути ненульовими .

Теорема 5.3. (про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5.5) являються неперервними на (a,b) , то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі.

Доведення . Візьмемо точку (a,b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара , розв’язки :

з початковими умовами ;

Очевидно , що , отже побудовані розв’язки лінійно незалежні .

Теорема доведена .

З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч.