Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку

1. Властивості лінійного диференціального оператору.

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду

де Pi(x), i = 1,2 n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).

При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок

y=y(x), який задовільняє початковим умовам .

Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).

Особливих розв’язків диференціальне рівняння (5.1) не має. Будь-який розв’язок являється частинним. Якщо при стоїть , то точки, в яких =0, називаються особливими.

Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (5.1) називають однорідним

Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор

Властивості оператора L :

a)L (xy)=k *L (y), k = const;

b)L ( )=L ( ) + L ( );

c)L .

Використовуючи оператор L диференціального рівняння (5.1) і (5.2) перепишемо у вигляді L (y) = f (x) , L (y) = 0

Означення 5.1. Функція y = y (x) називається розв’язком диференціального рівняння (5.1), якщо L (y) f (x) (для диференціального рівняння (5.2)

L (y(x))

Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій заміні незалежної змінної .

Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій лінійній заміні шуканої функції

2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n–го порядку.

Наша задача полягає в тому, щоб знайти всі дійсні розв’язки диференціального рівняння

Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні розв’язки.

Означення 5.2 Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції, будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) – дійсна частина, v(x) – уявна частина).

Приклад 5.1. Показати справедливість формул

Формули (5.6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.