Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку

Похідна n-го порядку від z (x) дорівнює .

Приведемо формули для обчислення похідної :

а)

Дійсно

б) Для дійсного к і будь-якого справедлива формула

в) Використовуючи (5.9) можна показати,

де - поліноми степеня n ;

г) При будь-якому (дійсному або комплексному) справедлива формула

Формула (5.11) доводиться шляхом представлення і використання формули (5.8).

Означення 5.3. Комплексна функція y (x) = (x) + i (x) (5.12) називається розв’язком однорідного диференціального рівняння (5.5); якщо

L (y(x)) 0, a < x < b .

Комплексний розв’язок (5.12) утворює два дійсних розв’язки (x), (x).

Дійсно L (y(x)) = L ( (x) + i (x)) = L( (x)) + iL( (x)) = 0 .

Звідки L( (x)) = 0, L( (x)) = 0.

Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5.5).

а) Якщо (x) – розв’язок , тобто L( ) 0, то y=c (x), де с – довільна константа , теж розв’язок диференціального рівняння (5.5)

L(с ) = сL( ) = 0.

б) Якщо (x), (x) - розв’язки диференціального рівняння (5.5) , то

у= (x)+ (x) теж розв’язок . Дійсно L ( + ) = L ( )+L ( ) = 0.

в) Якщо (x), (x), - розв’язки диференціального рівняння (5.5), то їх лінійна комбінація також являється розв’язком

L = 0.

Приклад 5.2. Записати двохпараметричне сімейство розв’язків.

cos(x), sin(x) - розв’язки, тоді y = c cos(x)+c sin(x) - розв’язок .

3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n – го порядку.

Означення 5.4. Функції (x), (x), називаються лінійно незалежними на (a,b) , якщо між не існує співвідношення виду