Випуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину. Асимптоти графіка функції. Схема дослідження функції та побудова її графіка. Функція попиту.

звідки матимемо стаціонарні точки .

            При переході  через точку  похідна  знака не змінює, а при переході через точку - змінює знак “-”   на “+”. Тому  не є екстремальною точкою, а  є точкою мінімуму:

.

8. Знаходимо інтервали вгнутості та опуклості графіка функції

.

            Розв’яжемо нерівність :

.

Ця нерівність справджується при . Отже, в інтервалі  крива вгнута, а в інтервалі  - опукла.

            9. Знаходимо точку перегину. Для цього розв’язуємо рівняння :, звідки .

            При проходженні  через точку похідна змінює знак “+” на “-”. Точка  є точка перегину.

            10. Знаходимо похилі асимптоти:

;

.

Отже, .

Рівняння похилої асимптоти: .

            11. Будуємо графік функції (рис.6.22).

Рис.6.22

4. Гранична корисність і гранична норма заміщення

            Основним поняттям теорії споживання є функція корисності Ця функція виражає міру корисності набору , де кількість товару , а кількість товару  Чутливість набору  до незначної зміни  при фіксованому  називається граничною корисністю  і визначається як частинна похідна Аналогічно визначається гранична корисність  як Частіше всього лінії рівня функції корисності (їх ще називають кривими байдужості) є графіками спадних функцій. Тому будемо вважати, що для точок  і  розташованих на одній лінії рівня приростів  і мають різні знаки (рис.6.23).

            Нехай, для визначеності,  а  В цьому випадку говорять, що одиниць першого товару заміщується на  одиниць другого товару (мається на увазі перехід із в ).

            Граничною нормою заміщення  на  в точці  називається границя відношення коли точка  прямує до залишаючись на одній з лінії рівня функції  Гранична норма заміщення позначається  або

Нехай дотична до лінії рівня функції  в точці Із рис.6.   видно, що січна прямує до коли тому