Випуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину. Асимптоти графіка функції. Схема дослідження функції та побудова її графіка. Функція попиту.

Пошукова робота на тему:

Випуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину. Асимптоти графіка функції. Схема дослідження функції та побудова її графіка. Функція попиту.

План

Випуклість і вгнутість графіка функції

Точки перегину

Асимптоти графіка функції

Схема дослідження функції та побудова її графіка

Гранична корисність і гранична норма заміщення

Функція попиту

1. Опуклість і вгнутість кривих. Точка перегину

            Нехай крива задана рівнянням , де  - неперервна функція, що має неперервну похідну  на деякому проміжку . Тоді в кожній точці такої кривої можна провести дотичну (ці криві ще називають гладкими кривими).

Візьмемо на кривій довільну точку , де , .

            Означення. Якщо існує окіл точки такий, що для всіх  відповідні точки кривої лежать над дотичною, проведеною до кривої в  точці , то крива в точці називається вгнутою догори (рис. 6.15).

            Означення. Якщо існує окіл точки  такий, що для всіх  відповідні точки кривої лежать під дотичною, проведеною до кривої в точці , то крива в точці  називається вгнутою донизу (рис. 6.16).

            Означення. Точка називається точкою перегину кривої, якщо існує окіл точки  - такий, що для всіх  крива вгнута по один бік, а для всіх  - по другий бік (рис. 6.17,  6.18).

             Рис.6.15.                                           Рис.6.16

            Якщо крива, задана рівнянням  в кожній точці деякого проміжку вгнута догори, її називають вгнутою на цьому проміжку; якщо крива в кожній точці проміжку вгнута донизу, її називають опуклою на даному проміжку.

Не всяка крива має точку перегину. Так, криві, зображені на рис. 6.21, 6.22, точок перегину не мають. Іноді крива може мати тільки одну, а іноді кілька точок перегину, навіть нескінченну множину.

Поставимо задачу: знайти точки вгнутості кривої та точки перегину, якщо вони існують. Для цього доведемо теорему.

            Теорема. Нехай крива задана рівнянням  і нехай існує окіл  точки такий, що функція

    Рис.6.17               Рис.6.18          Рис.6.19           Рис.6.20

 при кожному має похідні до другого порядку включно, причому  в точці є неперервною функцією. Тоді, якщо , то крива в точці  вгнута догори. Якщо , то крива в точці вгнута донизу.