Випуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину. Асимптоти графіка функції. Схема дослідження функції та побудова її графіка. Функція попиту.

З теореми випливає, що коли крива задана рівнянням , де - визначена і має неперервні похідні до другого порядку включно на деякому проміжку , і в кожній точці цього проміжку, то задана крива на цьому проміжку вгнута. Якщо , то задана крива на цьому проміжку опукла. Інакше, якщо  при , то крива не має точок перегину. Отже точка  може бути точкою перегину кривої, заданої рівнянням , якщо  або в точці  не існує, але  існує.

Надалі розглядатимемо випадок, коли  існує в усіх точках проміжку . Тоді корені рівняння можуть бути абсцисами точок перегину кривої. Те, що похідна другого порядку

дорівнює в даній точці нулю, є тільки необхідною умовою того, щоб   була абсцисою точки перегину кривої, але не достатньою.

            Для того, щоб знайти точки перегину кривої, заданої рівнянням , треба:

1) визначити від функції  похідну другого порядку  і прирівняти її до нуля . З коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні корені і ті, які належать області існування функції;

2) в околі кожного вибраного таким чином кореня визначити знак похідної другого порядку  спочатку при значеннях , менших від розглядуваного кореня, а потім при значеннях , більших за даний корінь. Якщо при переході  через вибраний корінь  похідна  змінює знак, то точка  є точкою перегину заданої кривої. Якщо при переході  через  знак похідної другого порядку не змінюється, то  не є точкою перегину кривої.

Зокрема, якщо при переході через  змінює знак “+” на “-”, то  крива при проходженні через точку перегину змінює відповідно свій вигляд із вгнутості на опуклість. Якщо  при переході через  змінює знак   “-” на “+” , то крива  при проходженні через точку перегину  змінює відповідно свій вигляд з опуклості на вгнутість.

Приклад.        Знайти інтервали вгнутості й опуклості та точки перегину кривої, заданої рівнянням

.

            Р о з в ’ я з о к. Знаходимо похідні першого та другого порядків: ; .

            Прирівнюємо  до нуля. Дістанемо рівняння

,

звідки знаходимо корені

            Отже, в інтервалах  похідна , а в інтервалі  похідна . Тому в інтервалах  крива вгнута, а в інтервалі - опукла. Точки  є точки перегину кривої.

2. Асимптоти кривих

            Нехай крива задана рівнянням , де  є неперервною функцією на відрізку . Тоді задана крива всіма своїми точками знаходитиметься в замкненому прямокутнику , деє найбільше значення функції  на відрізку .            Якщо функція  задана на нескінченному проміжку або у випадку, коли проміжок скінчений, але містить точки розриву другого роду заданої функції, то криву не завжди можна розмістити в прямокутнику. Тоді крива або окремі її вітки йдуть в нескінченність. При цьому може трапитися так, що крива на нескінченності, “розпрямляючись”, наближається до деякої прямої лінії (рис.6.21).

            Означення.  Пряма лінія  називається асимптотою кривої , якщо відстань точки кривої  до прямої  прямує до нуля, коли точка по кривій рухається в нескінченність, тобто