Випуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину. Асимптоти графіка функції. Схема дослідження функції та побудова її графіка. Функція попиту.

8. Знайти інтервали вгнутості та опуклості кривої, яка є графіком функції.

9. Знайти точки перетину і побудувати їх на площині.

10. Знайти асимптоти графіка функції.

11. Побудувати графік функції.

           

            Приклад.  Дослідити функцію та побудувати її графік.

            Р о з в ’ я з о к.

1. Оскільки задана функція дробово-раціональна, то вона не існує в точках, де знаменник дорівнює нулю:

,

звідки .

            Отже, область існування є об’єднання множин .

            2. Нехай , тоді . Нехай , тоді . Отже, графік перетинає координатні осі в точці , тобто графік проходить через початок  координат.

            3. Функція не періодична. Проте вона є непарною, тому розглядатимемо тільки .            4. Чисельником і знаменником є многочлени, неперервні на всій числовій осі. Тому точкою розриву при є тільки одна точка . Дослідимо її характер. Знайдемо односторонні границі

.

            Отже,   є точка розриву другого роду; пряма є вертикальною асимптотою.

            5. Досліджуємо функцію на кінцях проміжків, вона визначена. В точці  ми її дослідили, тепер знайдемо

.

            6. Обчислимо

.

            Розв’яжемо нерівність :

.

Звідси, в інтервалі  функція зростає, а в інтервалах  - спадає.

            7. Знайдемо екстремальні точки. Розв’яжемо рівняння :

,