Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Пипустимо, що права частина Д.Р. (5.26) має вигляд

(5.44)

де , – відомі поліноми степені . (хочаб один має степінь ).

Використовуючи формули Ейлера, обчислимо

і перепишемо функцію таким чином

де і – поліноми степені , тобто є сума двох функцій, які розглянуті вище.

Випадок 1. Число не являється коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний розв’язок шукаємо в вигляді

(5.45)

де і – поліноми -ої степені з невизначеними коефіцієнтами.

Випадок 2. Якщо – -кратний корінь характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукаємо в вигляді

(5.46)

Приводячи (5.45) і (5.46) до дійсного вигляду, сформулюємо слідуюче правило знаходження частинного розв’язку для вигладу (5.44).

Випадок 1. Якщо не являється коренем характеристичного рівняння,то

(5.47)

Випадок 2. Якщо – -кратний корінь характеристичного рівняння то

(5.48)

Тут і – поліноми -ої степені з невизначеними коефіцієнтами.

Приклад 5.12.

Знайти загальний розв’язок Д.Р. методом невизначених коефіцієнтів

Запишемо розв’язкі однорідного Д.Р.

, , ,

Знаходимо розв’язки неоднорідного Д.Р.

, ,

,

Отже