Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Розглянемо Д.Р. з правою частиною

(5.37)

де поліном з дійсними чи комплексними коефіцієнтами, -постійне дійсне чи комплексне число.

Розглянемо два випадки.

Випадок 1. Число не являється коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний розв’язок Д.Р. (5.37) шукають в вигляді

(5.38)

де

(5.39)

поліном -ої степені з невизначеними коефіцієнтами. Тобто в цьому випадку частинний розв’язок має туже аналітичну структуру, що і права частина Д.Р. (5.37)

Коефіцієнти знаходяться шляхом підстановки (5.38) в (5.37) і прирівнювання коефіцієнтів при однакових степенях .

Переконаємося, що шукані коефіцієнти визначаються однозначно. Підставимо (5.38) в (5.37), отримаємо

Використовуючи вищенаведені формули, знищуємо

на основі них маємо

Скорочуємо на і прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступінях

(5.40)

Так як , то з (5.40) послідовно визначаються всі коефіцієнти .

Випадок 2. Параметр являється -кратним коренем характеристичного рівняння , тобто

(5.41)

В цьому віпадку частинний розв’язок не можна побудувати в вигляді (5.38), так як . Його шукаємо в вигляді

(5.42)

де – поліном вигляду (5.39).

Координати полінома визначаються шляхом підстановки (5.42) в (5.37).звідки

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях

(5.43)

З (5.53) послідовно однозначно визначаються , так як .