Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Реферат на тему:

Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Побудова загального розв’язку лінійного однорідного рівняння.

Розглянемо лінійне Д.Р. -го порядку зі сталими коефіцієнтами

(5.26)

де – постійні дійсні числа, – неперервна функція на .

Разом з неоднорідним Д.Р. (5.26) будемо розглядати однорідне Д.Р.

(5.27)

Для побудови загального розв’язку Д.Р. (5.27) необхідно знайти хоч одну фундаментальну систему розв’язків. Виявляється, що фундаментальну систему розв’язків Д.Р. (5.27) можна побудувати з едементарних функцій. Наприклад, при Д.Р. , де – дійсне число, частинним розв’язком буде функйія .

Дотримуюись ідеї Ейлера, частинні розв’язки Д.Р. (5.27) шукаємо в вигляді

(5.28)

де – деякі поки невідомі постійні числа (дійсні або комплексні). Підставимо (5.28) в (5.27) отримаємо

(5.29)

З (5.29) випливає, що являється розв'язком Д.Р. (5.27) тоді і тільки тоді, коли , тобто

(5.30)

Рівняння (5.30) називають характеристичним рівнянням, а його корені характеристичимичислами Д.Р. (5.27).

Розглянемо три випадки побудови лінійно незалежних розв'язків.

а) Корені характеристичного рівняння дійсні і різні.

Тоді дійсних частинних розв'язків знайдемо згідно формулє

Ці розв'язки являються лінійно незалежними. Дійсно

так як останній визначник є визначник Вандермонда, який не дорівнює нулю, коли всі числа - різні.

В цьому випадку загальний розв'язок має вигляд

(5.31)

в області