Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

(5.32)

де – довільні сталі.

б) Корені характеристичного рівняння всі різні, але серед них є комплексні.

Нехай – пара комплексноспряжених коренів. Два дійсних, лінійно не залежних розв’язків будуються таким чином: кореню відповідає комплексний розв’язок . Згідно доведеному вище, функції , також являються розв’язками Д.Р. (5.27), які являються незалежними в інтервалі . Аналогічно кореню відповідають два дійсних, лінійно незалежних розв’язки , . Їх приєднання до знайдених дають лінійно залежну систему розв’язків. Тобто, спряжений корінь не приносить нових дійсних лінійно незалежних частинних розв’язків.

Таким чином, кожній парі комплексно спряжених коренів відповідає два дійсних лінійно незалежних розв’язків виду, , , які разом з розв’язком ( – дійсні числа) утворюють фундаментальну систему розв’язків на інтервалі .

Приклад 5.6.

Знайти загальні розв’язки

Запишемо розв’язкі характеристичного рівняння

,

Тоді

загальний розв’язок.

Приклад 5.7.

,

Приклад 5.8.

,

в) Випадок наявності кратних коренів характеристичного рівняння.

Припустимо, що -кратний корінь характеристичного рівяння (5.30), так що

, але (5.33)

Щоб знайти розв’язки, які відповідають характеристичному числу , продиференціюємо тотожність

(5.34)

раз ро , використовуючи при цьому формулу

Для знаходження похідної від добутку функції використовуємо формулу Лейбніца.

де