Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

.

Маємо

Використовуючи (5.33) запишемо

тобто функції

(5.35)

являються розв’язками Д.Р. (5.27). Ці функції лінійно незалежні на .

Таким чином дійсному кореню кратності відповідає дійсних лінійно незалежних розв’язків виду (5.35)

Якщо характеристичне рівняння має комплексні корені кратності , то лінійно незалежних розв’язків будуть мати вигляд

(5.36)

Розв’язки (5.36) лінійно незалежні на інтервалі

Приклад 5.9.

Розв’язати Д.Р.

Запишемо розв’язкі характеристичного рівняння

,

Тоді

,

загальний розв’язок.

Приклад 5.10.

,

,

Приклад 5.11.

,

,

5.3. Знаходження частинного розв’язку лінійно незалежного Д.Р. методом невизначених коефіцієнтів.

Для деяких частинних випадків функції можна знайти частинні розв’язкі Д.Р. (5.26) без квадратур.