Економетрика

Після цих перетворень отримаємо лінійну модель

Y1 = a01 + a1Z1 + a2Z2.

Система нормальних рівнянь для цієї регресії має вигляд

Для обчислення коефіцієнтів при невідомих а01, a1, a2 i вільних членів зручно використовувати електронні таблиці.

Під час економетричних досліджень отримано, що для деяких виробництв для параметрів a1 i a2 виконується при¬близне рівняння a1+a2 1.

Цей факт іноді використовується для оцінки параметрів. Якщо скористатися цим рівнянням a2=1-a1, то регресія Кобба-Дугласа буде мати вигляд:

.

Після заміни величин

, отримаємо рег¬ресію Y1 = a0Za1, де параметри а0, а1 оцінюються із системи двох нормальних рівнянь:

Після розв'язання системи нормальних рівнянь отрима¬ємо оцінки параметрів a1, a0:

Частинні коефіцієнти еластичності виробничої регресії

Для багатофакторної регресії частинний коефіцієнт елас¬тичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо один із факторів зміниться на один відсоток при не¬змінних значеннях інших факторів.

Якщо лінія регресії має вигляд Y = f[X1, Х2,...Хm), то частинний коефіцієнт еластичності для фактора X, обчислюється за формулою (i=1,m)

Знайдемо частинні коефіцієнти еластичності для вироб¬ничої регресії Кобба-Дугласа:

Y=a0X1a1X2a2,Таким чином, параметр a1 є частинним коефіцієнтом еластичності фактора Х1 виробничої регресії Кобба-Дуг¬ласа і показує, що показник Y змінюється на a1 відсотків, якщо фактор X1 змінюється на 1% при незмінних значен¬нях фактора Х2. Оскільки коефіцієнт еластичності додат¬ний, то збільшення (зменшення) фактора викликає, відпові¬дно, збільшення (зменшення) показника.

Аналогічним чином знайдемо, що частинний коефіцієнт еластичності для другого фактора дорівнює другому параме¬тру kx2 = a2 і, відповідно, показує, що зміна фактора Х2 на 1% викликає зміну показника на а2 відсотків при незмінних значеннях фактора Х1

Сумарний коефіцієнт еластичності

Розглянемо гіпотезу 3 про однорідність виробничої рег¬ресії з економічної точки зору. Збільшимо обсяг факторів у будь-яке стале число  і прослідкуємо реакцію зміни обсягу випуску продукції на такі зміни факторів.

Нехай у деякий момент часу фактори і показник мали значення x10, x20, y0, тобто Y0=a0X10a1X20a2, Після збільшення факторів у  разів отримаємо:

Y=a0X1a1X2a2=a0(X10)a1(X20)a2=a1+a2 a0X10a1X20a2=a1+a2 Y0.

У даному випадку показник однорідності а дорівнює сумі частинних коефіцієнтів еластичності a1 + а2. Цей пока¬зник однорідності називають загальним (сумарним) ко¬ефіцієнтом еластичності. На основі отриманих формул мо¬жна зробити висновки:

1. Якщо сумарний коефіцієнт еластичності а = 1, то при збільшенні факторів виробництва в  (стале число більше одиниці) разів, обсяг виробництва збільшиться в стільки ж разів.