Термодинамічні властив

Оскільки швидкість вільного електрона з хвильовим вектором k дорівнює v=ħk/m, то число електронів в елементі об'єму dv поблизу v співпадає з числом електронів в об'ємі dk=(m/ħ)3dV поблизу точки k=mv/ħ. Отже, повне число електронів в розрахунку на одиницю об'єму в реальному просторі, що містяться в елементі простору dv швидкостей поблизу v, дорівнює

f(v)dv (39),

де

f(v)=((m/ħ)3/4π3)(1/(exp((mv2/2-μ)/kBT)+1)) (40)

Зоммерфельд заново розглянув модель Друде і замінив всюди класичний розподіл по швидкостях Максвела-Больцмана на розподіл Фермі-Дірака.

Класичне описання руху електрона можливе в тому випадку, коли його координати і імпульс можуть бути виміряні з необхідною точністю без порушення принципу невизначеності.

Типовий електрон в металі має імпульс порядку ħkF, тому, щоб класичний опис був хороший, невизначеність імпульсу електрона Δp повинна бути малою порівняно з ħkF. Оскільки із формули

kF=(9π/4)1/3/rS=1,92/rS

слідує, що kF пропорційне 1/rS, невизначеність повинна задовольняти умову:

∆x ~ ħ/∆p >> (1/kF) ~ rS (41)

де rS має порядок середньої відстані між електронами, тобто декілька ангстрем. Тому класичний опис неможливий, коли розглядаються електрони, які локалізовані на відстанях порядку міжатомних. Але електрони провідності в металах не прив'язані до конкретного іона, а вільно рухаються по об'єму металу. В більшості випадків немає необхідності, в макроскопічних прикладах, задавати їх координати з точністю до 10-8см. В моделі Друде знання координат електрона важливо в двох відношеннях:

1) коли до металу прикладене змінне електромагнітне поле або градієнт температури, ми повинні вказати координати електрона з точністю до відстаней, малих порівняно з характерним масштабом λ, на якій міняється поле або градієнт температури.

2) В моделі Друде передбачається, що електрони можуть перебувати на відстанях набагато менших від довжини вільного пробігу. Тому слід розглядати електрони з довжиною вільного пробігу >10 ангстрем.

Існує широкий клас явищ, коли поведінку окремого електрона можна описати з допомогою класичної механіки. Але чи можна описати так поведінку N таких електронів.Розглянемо систему з N електронів, не взаємодіючих один з одним і піддаючи їх дії електромагнітного поля, що залежить як від просторових координат, так і від часу. Нехай в нульовий момент часу шляхом заповнення деяких N одно електронних рівнів Ψ1(0),…,ΨN(0) створений деякий N-електронний стан. Нехай Ψj(t), той рівень, в якому за час t під дією електромагнітного поля перетворився б рівень Ψj(0), якщо був би один електрон, що знаходився в нульовий момент часу на рівні Ψj(0). Тоді в момент часу t відповідний N-електронний стан буде утворений заповненням N-одноелектронних рівнів Ψ1(t),…,ΨN(t). Таким чином, щоб повністю визначити динамічну поведінку системи із N не взаємодіючих електронів, достатньо розглянути N незалежних одноелектронних задач.

Використання статистики Фермі-Дірака впливає лише на ті результати моделі Друде, для отримання яких необхідно знати розподіл електронів за швидкостями. Якщо величина 1/τ, якахарактеризує частоту зіткнень електрона, не залежить від його енергії, то зміна функції розподілу впливає лише на визначення довжинивільного пробігу електрона, а також на розрахунок теплопровідності і термо-е.р.с.

Середня довжина вільного пробігу: