Термодинамічні властив

Нам необхідно розрахувати властивості основного стану системи із N електронів, що знаходяться в об'ємі V. Оскільки електрони не взаємодіють один з одним, основний стан цієї системи можна знайти вичисливши спочатку рівні енергії окремого електрона в об'ємі V і заповнюючи потім всі рівні знизу вверх у відповідності з принципом Паулі, який забороняє двом електронам одночасно займати один електронний рівень.

Для опису окремого електрона необхідно знати його хвильову функцію Ψ(r) і вказати, який напрям має спін. Згідно СРШ маємо:

-ħ/2m(∂ 2 / ∂ x2+ ∂ 2 / ∂ y2+∂ 2 / ∂ z 2)Ψ(r)= -ħ/2m▼2Ψ(r)=εΨ(r) (4).

Оскільки електрон рухається в металі об'ємом V, то вводячи граничні умови приймемо, що в нас є куб зі стороною L=V 1/3. При граничних умовах

Ψ(x+L)=Ψ(x), тому для куба маємо:

Ψ(x,y,z+L)=Ψ(x,y,z)

Ψ(x,y+L,z)=Ψ(x,y,z) (5).

Ψ(x+L,y,z)=Ψ(x,y,z)

Співвідношення (5) називаються граничними умовами Борна-Кармана.

Знайдемо розв'язок, що задовольняє граничні умови (5). Розв'язок (4), якщо знехтувати граничними умовами має вигляд:

Ψk(r)=eikr/√V (6),

при цьому:

ε(k)=ħk2/2m (7),

де k- будь-який вектор, який не залежить від просторових координат. В (6) ми вибрали нормований множник так, щоб ймовірність знаходження електрона будь-де по всьому об'єму V дорівнювала одиниці:

1=∫dr|Ψ(r)|2 (8).

Хвильова функція Ψk(r) являє собою відповідну функцію оператора імпульсу:

p=(ħ/i)( ∂/∂r)= (ħ/i)▼ ( px=(ħ/i)( ∂ / ∂x), py=(ħ/i)( ∂ / ∂y), pz=(ħ/i)( ∂ / ∂z) ) (9),

5. Застосування розподілу Фермі-Дірака.

В газі вільних і незалежних електронів одно електронні рівні описуються хвильовим вектором k і спіновим числом s: енергії рівнів не залежать від s (при відсутності магнітного поля ) і визначаються виразом:

E(k)=ħ2k2/2m (1)

В основному стані зайняті тільки ті рівні, в яких E(k)≤EF, тому в основному стані функція розподілу повинна мати вигляд:

fkS={1, E(k)EF (2)

З іншої сторони в границі T→0 розподіл Фермі-Дірака набере вигляду