Верифікація закону всесвітнього тяжіння
Встановлені за результатами астрономічних спостережень руху планет закони [8] Й. Кеплера відіграли основну роль у відкритті І. Ньютоном формули [8] для сили всесвітнього тяжіння:
.(1)
Тут та – маси точкових тіл, – вектор, який вказує на їхнє взаємне розташування в просторі, а – ґравітаційна стала. Взаємні впливи інших планет призводять до порушення [8] законів Кеплера. Знаходження форми траєкторії планет було тим пробним каменем, на якому відточувалися теорії ґравітації.
1. Рух об’ємного тіла в центральному полі
Нехай точкова маса нерухома в інерційній системі відліку. Тоді початок системи координат можна розмістити в . У процесі розрахунків, розглядаючи лише геометричні аспекти задачі, напруженість ґравітаційного поля зручніше характеризувати не посиланням на масу , яка це поле створює, а її ґравітаційним радіусом [11]:
.(2)
Таким чином, формулу (1) можна переписати у вигляді:
.(3)
Тут – фундаментальна швидкість, а – одиничний вектор уздовж радіус-вектора . Використання в (3) ґравітаційного радіуса має технічний характер і зовсім не пов’язане з підходами ЗТВ [11].
Нехай у ґравітаційному полі маси рухається точкове тіло масою . Якщо зв’язана з масою система відліку є інерційною, рівняння динаміки цієї матеріальної точки матиме вигляд [10]:
.(4)
Помноживши (4) векторно на , отримуємо рівняння обертального руху маси навколо точки :
.(5)
Можна довести [8], що ґравітаційне поле сферично-симетричного тіла збігається з полем точкової маси, поміщеної в центрі симетрії, а самі тіла взаємодіють за тими ж законами, що й точкові. Однак, якщо для матеріальної точки перехід від рівняння (4) до (5) не викликає жодних заперечень, то для об’ємного тіла згадана процедура виглядає сумнівною. Справді, рівняння (4) описує поступальних рух, а (5) – обертальний. Поступальний же рух по орбіті навколо силового центра , згідно з теоремою Л.Ейлера, складається [1] з двох обертальних рухів – орбітального та власного. При поступальному русі частота обертання навколо власної осі з точністю до знака збігається з частотою орбітального руху. Таким чином, рівняння (4) та (5) для об’ємного тіла нееквівалентні, бо (5) не враховує зумовленого орбітальним рухом кутового прискорення тіла навколо власної осі.
Пояснимо, як узгодити рівняння (4) поступального руху та рівняння обертального руху. Позначивши орбітальний момент імпульсу тіла через , а власний – через , згідно з законом збереження
(6)
у замкненій системі, матимемо:
.(7)