Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції

2) функція f(х) = cos х, х R має первісну функцію F (х) = sin x + С, aбо

F' (х) = (sin х + С)' = cos х, х R.

Розглянуті приклади показують, що задача знаходження первіс¬ної розв'язується неоднозначно. Інакше кажучи, якщо для функції f(х) існує первісна F(х), то ця первісна не одна. Виникає запитання: як знайти всі первісні даної функції, якщо відома хоча б одна з них? Відповідь дає така теорема.

Теорема. Якщо F (х) - первісна функції f (х) на проміжку , то всяка інша первісна функції f (х) на цьому самому проміжку має вигляд F (х) + С.

О Нехай Ф(х) - деяка інша, крім F (х), первісна функції f(х), тобто Ф'(х) = f(х), х . Маємо

а це означає (гл. 5, п. 5.2, прикл. 4), що Ф(х)-F (x) = С. Отже, Ф(х)=Р(х)+С. •

З цієї теореми випливає, що множина функцій F(х)+С, де F(х) - одна з первісних функції f(х), а С - довільна стала, визначає всю сукупність первісних заданої функції.

Якщо F(х) - первісна функції f(х) на проміжку і С - довільна стала, то вираз F(х) + С називається невизначеним інтег¬ралом функції f(х) на цьому проміжку і позначається символом . Таким чином, символ означає множину всіх первісних функції f (х).

Знак , який ввів Лейбніц, називається інтегралом, f(x)dx - підінтегральним виразом, f(х) - підінтегральною функцією, х - змінною інтегрування. Отже, за означенням,

f(x)dx= F(x) + C, якщо F'(x) = f(x), x. (1)

Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.

З погляду геометрії невизначений інтеграл є множиною кривих, кожна з яких називається інтегральною кривою і утворюється зсу¬вом однієї з них паралельно самій собі уздовж осі Оу (рис. 1). Щоб з цієї множини виділити певну інтегральну криву F(x), достатньо задати її значення F(х0) в якій-небудь точці х0 .

З рівностей (1) випливають такі властивості невизначеного інтег¬рала.

1°. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

((х) dx)' = (F (x) + С)' = F' (x) = f (х).

Інакше кажучи, знаки похідної і невизначеного інтеграла взаєм¬но знищуються. Це природно, бо операції диференціювання та ін¬тегрування - взаємно обернені. Внаслідок цього правильність ви¬конання операції інтегрування перевіряється диференціюванням. Наприклад,

2°. Невизначний Інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:

(х) = '(х) dx = (х) dx = F(х) + С.

3°. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

d((х) dx) - ((х) dx)' dx = f(х) dx.4°. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

(x)dx=C(x)dx.