Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції

f(х + х)f(х). (7)

Якщо функція у = f (х) диференційовна в точці х, то абсолютна по¬хибка формули (7) наближено дорівнює абсолютній величині ди¬ференціала:

Відносна похибка формули (7) визначається за формулою

Приклади

1. Знайти диференціал функції у= ln sin 2х: а) при довільних значеннях х i x; б) при х = ; в) при х = і x = 0,1.

О а) Користуючись формулою (4), знаходимо

dy = (ln sin 2x)' dx = 2 ctg 2xdx;

б) в)

2. Порівняти приріст y і диференціал dy функції у = х3 + 2x2.

О Знаходимо приріст і диференціал функції:

y= f (х+x)-f (x)= (х +x)3 + 2 (х + x)2 - (х3 + 2x2) =

=(Зx2 + 4x)x + (3х + 2 +x)x2;

dy = f' (x)x = (3x2 + 4x) dx.

Величини y і x еквівалентні при x0 і х 0, оскільки dx = x і

Абсолютна похибка |y - dy| = |3х + 2 + x| x2 при x0 є нескінченно малою другого порядку в порівнянні з x, тому що

якщо х- і є нескінченною малою більш високого порядку, ніж другий, коли x0 і х.

3. Довести, що при малих значеннях Дл: і х ;> 0 справедлива формула

О Розглянемо функцію f (х) = x (0; +). Маємо I шукана рівність випливає з формули (6). Зокрема, якщо х = 1, то

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Основною задачею диференціального числення є знаходження похідної f'(х) заданої функції f(х). Одне з можливих фізичних трак¬тувань цієї задачі - визначення швидкості руху за функцією, яка задає пройдений шлях за час руху. З практичної точки зору природ¬ною є обернена задача, а саме, визначення пройденого шляху за відо¬мою швидкістю руху як функцією часу. Більш формально, остання задача є знаходженням функції f(х) за відомою її похідною f (х). Розв'язується ця задача за допомогою невизначеного інтеграла.

1.1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла

Функція F (х) називається первісною функції f (х) на проміжку , якщо F (х) диференційовна на і F' (х) = f (х), х .

Наприклад: 1) первісною функції f(x) = x2, xR є функція F(x)= (справді, F'(x) = xR); очевидно, що первісними будуть також функції F (х) = , F(x) = і взагалі F (x) =+С, де С - довільна стала, оскільки F' (х) = x;