Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції

Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції

Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і е одним з найважливіших в математиці. Диференціал наближено до¬рівнює приросту функції і пропорційний приросту аргументу. Вна¬слідок цього диференціал широко застосовується при дослідженні різ¬номанітних процесів і явищ. Будь-який процес протягом достатньо малого проміжку часу змінюється майже рівномірно, тому дійсний приріст величини, що характеризує процес, можна замінити дифе¬ренціалом цієї величини на даному проміжку часу. Таку заміну на¬зивають лінеаризацією процесу.

Термін «диференціал» (від латинського слова differentia - різни¬ця) ввів у математику Лейбніц.

1. Означення, геометричний та механічний зміст диференціала

Нехай функція у = f (х) диференційовна в точці х [а; b], тобто в цій точці має похідну

Тоді з властивості 1o (гл. 4, п. 3.6)

при х 0,

звідки

(1)

Перший з доданків лінійний відносно х і при х 0 та f' (х) 0 є нескінченно малою одного порядку з х , тому що (гл. 4, п. 4.3):

Другий доданок - нескінченно мала вищого порядку, ніж х , тому що

Цей доданок не є лінійним відносно х, тобто містить х в степені, вищому від одиниці. Таким чином, перший доданок у формулі (1) є головною частиною приросту функції, лінійною відносно приросту аргументу.

Диференціалом dy функції у = f (х) в точці х називається головна, лінійна відносно х, частина приросту функції f(х) в цій точці:

dy = f' (х) х. (2)

Диференціал dy називають також диференціалом першого порядку. Якщо у = х, то у' = х' = 1, тому dy = dx = х, тобто диферен¬ціал dx незалежної змінної х збігається з її приростом х. Тому формулу (2) можна записати так:

dy = f'(x)dx. (3)

Формула (4) дає змогу розглядати похідну як відношення диферен¬ціала функції до диференціала незалежної змінної.

Зауважимо, що коли в точці х0 похідна f' (х0) = 0, то перши й доданок у формулі (1) дорівнює нулеві і вже не є головною части¬ною приросту . Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (4).

Геометричний зміст диференціала зрозумілий з рис. 5.18. Маємо

PN =y, QN = MNtg=хf'(x) = f'(x)dx = dy.

Отже, диференціал функції f (х) при заданих значеннях х і х до¬рівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (х) в точці х. Приріст функції y при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометрично означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозумі¬ло, що така заміна доцільна лише для достатньо малих значень х.