Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції

З'ясуємо механічний зміст диферен¬ціала. Нехай матеріальна точка руха¬ється за відомим законом

S = f(t), де f(t) - диференційовна на деякому про¬міжку функція. Тоді диференціал цієї функції dS = f'(t) при фіксованих значеннях t і - це той шлях, який пройшла б матеріальна точка за час , якби вона рухалась прямолінійно і рів¬номірно із сталою швидкістю . Зрозуміло, що фактичний шлях S у випадку нерівномірного руху на від¬міну від диференціала dS не є лінійною функцією часу і тому відрізняється від шляху dS. Проте якщо час достатньо малий, то швидкість руху не встигає суттєво змінитись, і тому рух точки на проміжку часу від t до t + є майже рівномірним.

Поняття диференціала можна проілюструвати і на інших прикла¬дах, які розглянуто в п. 1.1. У кожному з них поняття диференціала набуває конкретного фізичного змісту.

2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала

Оскільки диференціал функції дoрівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то властивості диференціала можна легко дістати із відповідних властивостей похідної. Якщо, наприклад, и і v - диференційовні функції від х, С - стала, то маємо такі правила знаходження диференціалів:

d (u ± ) = du ± d;

Доведемо, наприклад, четверту формулу. За означенням диферен¬ціала маємо

d (uv) = (uv)'xdx = (u'v + uv') dx - = vu'dx + uv'dx = vdu + udv.

Особливо важливий висновок випливає з правила диференцію¬вання складеної функції. Нехай у = f (х) = f ( (t)) - складена функція з проміжним аргументом х =(t) і кінцевим аргументом t, причому функції f (х), (t) диференційовні в точках х і t. Тоді існує похідна y't = y'xx't, а отже, і диференціал

dy = y'tdt = y'xx'xdt = y'xdx. (5)

Порівнюючи формули (4) і (5), бачимо, що перший диференціал функції

у = f (х) визначається за однією і тією самою формулою неза¬лежно від того, чи змінна х є незалежною змінною, чи вона є функ¬цією іншої змінної.

Цю властивість диференціала називають інваріантністю (незмін¬ністю) форми диференціала. Проте слід зауважити, що формули (4), де х - незалежна змінна, і (5), де х - залежна змінна, однакові лише на вигляд, а зміст їх різний: якщо у формулі (4) ах = Ал:, то у формулі (5)

dx = x'(t)dtx.

3. Застосування диференціала в наближених обчисленняхЯк уже зазначалось, приріст y функції у = f(х) у точці х можна наближено замінити диференціалом dy в цій точці: ydy. Під¬ставивши сюди значення y і dy, дістанемо

(6)

Абсолютна похибка величини y - dy є при х 0 нескінченно малою вищого порядку, ніж x , тому що при f' (х) 0 величини y і dy еквівалентні (гл, 4, п. 4.3):

Оцінка (точність) формули (6) при фіксованих значеннях х та Дя з'ясована в п. 5.2.

Іноді користуються наближеною рівністю