Диференціал

Отже, механічне тлумачення диференціала функції таке: диференціал функції виражає той шлях, який точка пройшла б за час , якби вона рухалася прямолінійно і рівномірно зі сталою швидкістю .

6.6.3. Повний диференціал функції двох змінних

Означення повного диференціала. Нехай функція в деякій області неперервна і має частинні похідні та .

Виберемо в цій області довільну точку . Надамо приросту обом аргументам, тобто візьмемо точку

. Для приросту

одержуємо такий вираз:

(6.54)

При і останні два доданки є нескінченно малими вищого порядку, оскільки і . Перших два доданки складають головну частину у виразі повного приросту .

Означення. Головна, лінійна відносно і частина приросту функції називається повним диференціалом функції двох змінних і позначається або :

. (6.55)

(Легко бачити, що це означення приводить до введеного вище поняття диференціала функції однієї змінної, якщо замість розглядати функцію ).

Приклад. Знайти повний диференціал функції .

Р о з в ' я з о к.

В будь-який точці .

Зауваження. Означення повного диференціала легко узагальнюється на випадок диференційованої функції будь-якого числа змінних.Повним диференціалом функції в даній точці називається головна, лінійна відносно приросту всіх аргументів частина повного приросту функції.

Приклад. .

Р о з в ' я з о к.

В будь-які й точці

.

Означення дотичної площини і нормалі до поверхні. Є кілька еквівалентних між собою означень дотичної площини до поверхні. Ми дамо означення, яке є природним узагальненням означення дотичної (прямої) до кривої (рис. 6.7).

Нехай - точка даної поверхні. Розглянемо на поверхні другу, змінну точку і проведемо січну пряму .

Площина, що проходить через точку , називається дотичною площиною до поверхні в точці , якщо кут між січною і цією площиною прямує до нуля, коли віддаль прямує до нуля, яким би чином точка на поверхні не прямувала б до точки .