Диференціал

Теорема (необхідна умова диференційованості). Функція диференційована в точці , неперервна в цій точці і має в ній частинні похідні за обома змінними.

Теорема (достатня умова диференційованості). Якщо функція має частинні похідні за змінними і якщо ці частинні похідні неперервні в цій самій точці , то функція диференційована в цій точці.

Зауваження. Функція (всякого числа змінних), диференційована в кожній точці деякої області, називається диференційованою в цій області.

1.2 Диференціал

Диференціал функції однієї змінної . Зазначимо, що доданки в рівності (6.50) відіграють неоднакову роль. Так, другий додаток при є величина вищого порядку малості, ніж ,

тоді як перший доданок , якщо і , є величина одного порядку малості з . Крім того, другий доданок в рівності (6.50) при і є величина вищого порядку малості, ніж перший,

Отже, перший доданок в рівності (6.50) є головною частиною приросту функції.

Означення. Добуток називається диференціалом функції в точці і позначається символом або ,

, . (6.51)

Диференціалом аргументу називається його приріст, тобто вважають . Тоді формула для диференціала функції набирає вигляду

,

або

(6.52)

Користуючись співвідношенням (6.52), складемо таблицю для диференціалів від елементарних функцій:

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .