Диференціал

Диференціал

План

Диференціал функції.

Геометричний зміст диференціала.

Лінеаризація функції.

Диференціал складної функції.

Повний диференціал функції декількох змінних.

Достатні умови диференційованості функції.

Рівняння дотичної площини до поверхні і нормалі.

Інваріантність форми диференціала.

Диференціювання функцій, заданих параметрично.

Неявні функції, їх диференціювання.

1. Диференціал функції

1.1 Означення диференційованої функції

Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо її приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:

(6.48)

де - число, а прямує до нуля, коли приріст прямує до нуля.

Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:

(6.49) де

- числа; і - нескінченно малі при (при ).

Теорема. Для того щоб функція в точці була диференційованою, необхідно і достатньо, щоб для неї в цій точці існувала скінчена похідна . При виконанні цієї умови рівність (6.48) має місце, коли стала дорівнює саме цій похідній:

(6.50)

Наслідок. Якщо функція в точці має (скінчену) похідну, то в цій точці функція необхідно неперервна.

Дійсно, із (6.50) зрозуміло, що з умови випливає .

Для функції двох змінних умова диференційованості жорстокіша, ніж існування частинних похідних в точці.