Матриці. Загальна інформація
Числа аij, і = 1, 2, .... m; j = 1, 2, ..., n біля невідомих назива¬ються коефіцієнтами, а числа bi - вільними членами системи ( ).
Система рівнянь ( ) називається однорідною, якщо всі вільні чле¬ни дорівнюють нулю, і неоднорідною, якщо хоч один з них відмінний від нуля.
Множина чисел а1, а2, ..., аn називається впорядкованою, якщо вка¬зано порядок слідування цих чисел, тобто вказано, яке з них є пер¬шим, яке другим, яке третім і т. д. Наприклад, якщо впорядкована трійка чисел, то в запису а, b, с число а вважається першим, b- дру¬гим, с - третім, в запису b, а, с першим е число b, другим - число а і третім - число с.
Упорядкований набір n чисел () називається розв'яз¬ком системи ( ), якщо при підстановці цих чисел замість невідомих х1, x2, ..., хn усі рівняння системи перетворюються в тотожності. Таку систему чисел називають також n-вимірним вектором, або точкою n-вимірного простору (див. п. 2.6, гл. 2).
Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв'язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв'язку.
Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний роз¬в'язок, тобто існує тільки один набір n чисел , який пере¬творює всі рівняння системи ( ) в тотожності.
Сумісна система називається невизначеною, якщо вона має більше, ніж один розв'язок.
Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо вони мають одну й ту ж множину розв'язків. Еквівалентні системи ді¬стають, зокрема, внаслідок елементарних перетворень даної системи. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь відповідають еле¬ментарним перетворенням матриці (п. 2.4) за умови, що вони викону¬ються лише над рядками матриці.
Розв'язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера
Нехай задано систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими х і у:
( )
Виконаємо такі елементарні перетворення системи ( ): спочатку помножимо перше рівняння на а22. Друге - на -а12, а потім складемо їх; після цього перше рівняння помножимо на а21, а друге - на -а11 і складемо їх. Дістанемо систему
Систему ( ) можна записати за допомогою визначників:
де
; ; .
Визначник , складений з коефіцієнтів системи ( ), називається визначником системи. Визначники у та х утворюються з визначника відповідно заміною стовпців при невідомих х та у вільними членами.
Використана література.
1. Беклемышев Д. В. Курс аналитической геометрии й линейной алгебры.- М. : Наука, 1987.- 320 с.
2. Бронштейн Й. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров й учащихся втузов.- М. : Наука, 1986.- 544 с.
3. Бурбаки Н. Очерки по истории математики.- М. : Изд-во иностр. лит., 1963.- 151 с.