Матриці. Загальна інформація
Матриці. Загальна інформація
Основні означення
Прямокутна таблиця чисел aij = 1, 2, .... m; j= 1, 2, ..., n, скла¬дена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді
або
називається матрицею. Поняття матриці вперше ввели англійські математики У. Гамільтон і Д. Келі. Коротко матрицю позначають так:
або
де aij - елементи матриці, причому індекс і в елементі aij означає но¬мер рядка, aj- номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.
Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають m X n. Якщо хочуть вказати розмір m X n мат¬риці А, то пишуть Аmn.
Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, назива¬ється квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком. Матриця, у якої всього один рядок, назива¬ється матрицею-рядком, а матриця, у якої всього один стовпець,- матрицею-стовпцем. Дві матриці Аmn=(aij) та Вmn= (bij) нази¬ваються рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відпо¬відні елементи: аij = bij. Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О. Як і в визначниках (п. 1.1), в квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагональ.
Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елемен¬ти, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорів¬нює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. На¬приклад, одинична матриця третього порядку має вигляд
Будь-якій квадратній матриці
можна поставити у відповідність певне число, яке називається ви¬значником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом det А. За означенням
det A=
Наприклад, якщо
то det
Прямокутна матриця розміром т X п (п ф пі) визначника не має.
Дії над матрицями
1°. Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакового розміру. Сумою С = А + В двох матриць Аmn - (aij) і Вmn = (bij) називається матриця Сmn= (cij)=(aij+bij). На¬приклад,
2°. Добутком матриці Аmn = (aij) на число k (або числа k на матрицю Amn) називається матриця Вmn= (kaij). Наприклад,
3°. Різниця матриць А - В визначається як сума матриці А і мат¬риці В, помноженої на - 1:
Справедливі такі властивості операцій: