Матриці. Загальна інформація

а) А - В = В + А - комутативність відносно додавання мат¬риць;

б) А + (В + С) - (А + В)+С - асоціативність відносно до¬давання матриць;

в) А + О - А; А - А = О - роль нульової матриці в діях над матрицями така, як і числа нуль в діях над числами;

г) (βA) = (β) А - асоціативність відносно множення чисел;

д) (А + В) = А +В - дистрибутивність множення на чис¬ло відносно додавання матриць;

е) ( + β) А - А + βА - дистрибутивність множення на мат¬рицю відносно додавання чисел.

4°. Операція множення двох матриць вводиться лише для узго¬джених матриць. Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В.

Якщо ця умова не виконується, тобто матриці неузгоджені, то множення таких матриць неможливе.

З узгодженості матриці А з В не випливає, взагалі кажучи, узго¬дженість матриці В з А.

Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені.

Добутком С = А В матриці Аmn - (аij) на матрицю Bnk=(bij) називається така матриця, у якої елемент сij дорівнює сумі добутків елементів j-го рядка матриці А на відповідні елементи четвертого стовпця матриці В:

cij=ai1b1j+ai2b2j+ … + ainbnj; C = Cmk = (cij),

i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, k.

Це означення називають правилом множення рядка на стовпець. На¬приклад, щоб визначити елемент с24, що стоїть в другому рядку і чет¬вертому стовпці матриці С = АВ, потрібно знайти суму»добутків еле¬ментів другого рядка матриці А на відповідні елементи четвертого стовпця матриці В.

Для дій 1°-4° над матрицями виконуються такі властивості (за умови, що вказані операції мають зміст):

а) (АВ) С = А (ВС); б) (А) В = А (В) = (АВ);

в) (A + В) С = AС + BС; г) С (A + В) = СA + СB;

д) A • О = О • А = О; е) АЕ = ЕА = A; е) det (A5) = det А X det 5.

Обернена матриця

Нехай А - квадратна матриця. Матриця A-1 називається обер¬неною до матриці А, якщо виконується умова

А А-1 = А-1А = Е.

Квадратна матриця А називається виродженою, якщо det А=0, і невиродженою, якщо det А ≠0.

Теорема 3. Для існування оберненої матриці А-1 необхідно і до¬статньо, щоб матриця А була невиродженою.