Матриці. Загальна інформація

О Необхідність. Нехай обернена матриця A-1 існує, тоді AA-1= Е. Застосовуючи правило знаходження визначника добутку двох матриць, маємо det A • det A-1 = 1, тому det А ≠ 0.

Достатність. Нехай det А ≠0, тоді матриця A має обернену матрицю А-1 причому

, ()

де Аij - алгебраїчні доповнення елементів аij визначника матриці

()Дійсно, добутки AA-1 і А-1 A матриць () і () дорівнюють матри¬ці, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці (за теоремою 1), а всі недіагональні елементи - нулю (за теоремою 2). От¬же, А-1А = АА-1 = Е.

Покажемо, що А-1- єдина обернена матриця. Нехай А" - ще одна обернена матриця, тоді

А-1 = А-1Е = А-1(АА") = (А-1А)А" = ЕА" = А".

Ранг матриці

Нехай задано матрицю Аmхn= А. Виділимо в матриці А будь-які k рядків і стільки ж стовпців, де k - число, не більше чисел m і n, тоб¬то k min (m, n).

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перети¬ні виділених рядків і стовпців, називається мінором k-го порядку мат¬риці А.

Рангом r (А) матриці А називається найбільший з порядків ЇЇ мі¬нор ів, відмінних від нуля.

Безпосередньо з означення випливає, що:

1) Ранг існує для будь-якої матриці Аmхn, причому

0r (A)min(m, n);

2) r (А) = 0 тоді і тільки тоді, коли А = 0;

3) для квадратної матриці n-го порядку ранг дорівнює n тоді і тіль¬ки тоді, коли матриця невироджена.

Ранг матриці можна знайти так. Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то r = 0. Якщо хоч один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого по¬рядку дорівнюють нулю, то r = 1. У випадку, коли є мінор другого по¬рядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінори третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори по¬рядку k дорівнюють нулю, або мінорів порядку k не існує, тоді r = k - 1.

Вказаний метод знаходження рангу матриці не завжди зручний, тому що пов'язаний з обчисленням значного числа визначників. Про¬стіший метод грунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення, а саме [1].

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Основні означення

Системою m лінійних рівнянь з n невідомими х1 х2, ..., хn назива¬ється система виду

( )