Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних

Р о з в ' я з о к. Перевіримо виконання умов теорем Лопіталя для першого прикладу. Для прикладів пропонуємо умови теорем перевірити самостійно.

1. Нехай . Розглядатимемо пів інтервал, де - довільне число. Тоді . Знаходимо похідні за будь-якого , а потім

.

Отже, виконуються всі три умови першої теореми Лопіталя. Тому

.

2. Маємо невизначеність виду . Використавши першу теорему Лопіталя, одержимо

.

3. Маємо невизначеність виду , тому використовуємо другу теорему Лопіталя:

.

4. Маємо невизначеність виду . Зводимо її до невизначеності . Для цього запишемо у вигляді

.

Отже, дістали невизначеність . Тому

.

5. Маємо невизначеність . Запишемо добуток

так: . Дістали невизначеність . Тому

Під знаком границі в правій частині останньої рівності знову маємо випадок, коли чисельник і знаменник прямують до , тобто маємо ту саму невизначеність . Застосувавши раз друге правило Лопіталя, дістаємо

6. Маємо невизначеність . Тоді

Знайдемо границю показника:

тому

7.Маємо невизначеність виду . Запишемо даний вираз:

. Дістали невизначеність .

Отже,

.

8. Маємо невизначеність виду . Запишемо даний вираз: