Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних

тоді, застосовуючи двічі доведену теорему, дістаємо таку рівність:

Взагалі цей спосіб можна застосовувати доти, поки не прийдемо до відношення яке має при певну границю. Тоді

У цьому випадку кажуть, що правило Лопіталя використовується разів.

Зауваження 2. Теорема 1 при виконанні її умов справджується і тоді, коли точка є невласною, тобто . У цьому випадку

Справді, застосувавши підстановку , маємо

Сформулюємо другу теорему Лопіталя, яка стосується розкриття невизначеності виду

Теорема 2. Нехай для функцій і виконуються умови:

1) функції визначені на півінтервалі і при цьому

2) функції диференційовані в інтервалі причому

3) існує ( скінчена або нескінченна) границя

Тоді

.

Зауваження 3. Крім невизначеностей є ще й інші невизначеності: Проте всі вони зводяться до невизначеності або

Справді, нехай, наприклад, маємо невизначеність Інакше кажучи, нехай маємо функції і такі, що Тоді добуток можна зобразити у вигляді частки:

Отже, у правій частині ми маємо невизначеність виду

Якщо маємо невизначеність , тобто і то різницю можна записати:

отже, в правій частині маємо невизначеність виду

Якщо маємо степінь і тобто невизначеність виду , то її розкривають так.

Припускаючи, що , вираз має вигляд

У показнику при маємо невизначеність виду , яка (це було показано вище) зводиться до невизначеності . Аналогічно невизначеності розкриваються невизначеності , .

Приклади. Користуючись теоремами Лопіталя, знайти границі функцій:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.