Найпростіші дії з матрицями

Кожному власному числу , відповідає свій власний вектор. Власних векторів у цьому випадку буде також n. Вони утворюють лінійно незалежну систему векторів, їх можна розглядати як базис , в якому матриця лінійно¬го перетворення А буде набувати найпростішого діагонального вигляду.

Розвязання лінійних

рівнянь методом Гауса.

Метод Гауса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь

до трикутного вигляду

Припустимо, що в системі (1) коефіцієнт а11 . Якщо ця умова не виконується, то на перше місце переносимо таке рівняння, щоб виконувалась умова а11 .

За допомогою першого рівняння виключимо х1 із решти рівнянь. Обчислення виконаємо в таблиці:

х1 х2 ... хn 1

Іноді вводять контрольний стовпець що дає змогу виявляти помилки.

Поділивши перший рядок на а11, позначимо

Далі перший рядок множимо послідовно на а21 і віднімаємо від другого рядка, множимо на а31 і віднімаємо від третього рядка і т.д.

Позначивши

дістанемо таблицю коефіцієнтів:

х1 х2 ... хn 1

Для невідомих , маємо систему n-1 рівнянь. Міркуючи, як і раніше, виключимо х2 з усіх рівнянь, починаючи з третього. Для цього спочатку поділимо другий рядок на . Якщо коефіцієнт , то переставимо рівняння так, щоб виконувалася умова .

Позначивши

,

помножимо другий рядок послідовно на і віднімемо від третього рядка; на і віднімемо від четвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю коефіцієнтів:

х1 х2 х3 ... хn 1

Продовжуючи процес виключення невідомих, дістанемо нарешті таблицю:

х1 х2 х3 ... хn-1 хn 1

Таблиця коефіцієнтів при невідомих набирає трикутного вигляду. На головній діагоналі всі елементи . Запишемо відповідну систему рівнянь: