Найпростіші дії з матрицями

Означення. Нехай дано матрицю А, розмір якої , і скаляр . Добутком на А називається матриця розміру :

Щоб помножити матрицю А на скаляр , потрібно кожний її елемент помножити на цей скаляр.

Означення. Сумою двох матриць

розміру є матриця такого самого розміру. Аналогічно означується різниця матриць. Додавати і віднімати можна лише матриці однакового розміру.

Згідно з наведеними означеннями виконуються такі правила:

Добуток матриць визначається через добуток лінійних перетворень. Нехай дано дві матриці: матрицю В розміру і матрицю А розміру

Розглянемо лінійні перетворення, які можна подати у вигляді

Виключаючи змінні , знаходимо лінійне перетворення , яке можна записати так:

Позначивши

подамо це лінійне перетворення у вигляді

Останню систему зручно записувати у векторній формі , де матриця С розміру має вигляд

Означення. Матриця С виду з елементами виду (2) називається добутком матриць В та А:С=ВА.

Елемент матриці С, що міститься в k-му рядку матриці В і s-му стовпці матриці А, є скалярним добутком k-го рядка матриці В та s-го стовпця матриці А.

Добуток матриць ВА є визначеним лише в тому разі, коли число стовпців першого множника дорівнює числу рядків другого множника.

Добуток матриць В розміру та А розміру є матрицею, розмір якої .

Лінійний n-вимірний простір

План:

1.Лінійний n-вимірний векторний простір.

2.Базис.

3.Власні значення та власні вектори матриць.

Векторний простір.

Означення. Упорядкована сукупність m дійсних чисел називається m-вимірним вектором і позначається вектором-стовпцем або вектором-рядком:

.

Числа називають координатами, або проекціями, вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка та навпаки називається транспортуванням вектора.