Найпростіші дії з матрицями

Вектор, утворений транспортуванням вектора а, позначається так: .

Означення. Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.

Означення. Множина всіх m-вимірних векторів називається m-вимірним простором і позначається .

Векторні простори , , можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій (множину дійсних чисел), множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі. На відміну від векторів числа називають скалярами.

Означення. Вектор називається нульовим, або нуль-вектором, якщо всі його координати дорівнюють нулю. Нульовий вектор позначається 0 = (0, 0, ..., 0), або так само, як число нуль – знаком 0. Вектор –а = (-а1 , -а2, ..., -аm) називається протилежним вектору а = (а1 , а2, ..., аm).

На прямій , площині та у тривимірному просторі вектори можна геометрично зображати напрямленими відрізками. При цьому вони мають початок і кінець. Два вектори a, b є рівними між собою, якщо вони паралельні, мають одну й ту саму довжину та однаковий напрям. Рівні вектори можуть мати довільні різні початки. Сумі a+b векторів a та b відповідає діагональ паралелограма, побудованого на векторах a та b. (рис. 1)

Щоб дістати різницю векторів a-b, будуємо трикутник, зі сторонами, що їх утворюють ці вектори. Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем вектора a, а кінець – із кінцем вектора b, являтиме собою шукану різницю. При цьому виконується рівність b-a = b+(-a). (рис. 2)

Вектор , де - деяке число, паралельний вектору а і має довжину ; напрям його при той самий, що й вектора а, при - протилежний напряму а.

Означення. Сумою двох векторів а та b називається вектор a+b, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів-доданків:

Добутком числа (скляра) на вектор а називається вектор , координати якого дорівнюють добутку на відповідні координати вектора а:

Вектори а та b називають колінеарними (паралельними), якщо їх відповідні координати пропорційні:

2. Означення: Базисом векторного простору називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору. Так систему векторів:

можна розглянути як базис простору .

Розглянемо дві системи векторів:

Система векторів (3) лінійно виражається через систему векторів (2), якщо кожен з них є лінійною комбінацією системи (2). Тобто .

Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них виражається лінійно через іншу.

Кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну, лінійно незалежну підсистему даної системи векторів, називається рангом цієї системи.

Ранг системи векторів має відповідний зв’язок з рангом матриці. Якщо, наприклад, з компонентів векторів системи (2) утворити матрицю , то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і буде вказувати на максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпчиків) цієї матриці. Отже, з рангом можна пов'язати і максимальну кількість лінійно незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.

Звязок між базами.

має базис:Якщо взяти довільний вектор , то з максимальності лінійно незалежних систем векторів (4) випливає, що