Найпростіші дії з матрицями

тобто вектор - є лінійною комбінацією векторів базису. Можна показати, що вираз (5) єдиний для вектора .

Нехай в просторі задано два базиси

Кожен вектор нового базису як і будь-який вектор однозначно можна записати, аналогічно (5) через базис (6) у вигляді

Означення: Матрицю , стовпчики якої є координати векторів нового базису (7) в старому базисі (6), будемо називати матрицею переходу від базису е до базису е’.

Якщо розглянути дві матриці е і е’, стовпчиками яких будуть компоненти векторів відповідно старого е і нового е’ базисів, то рівність (8) можна записати у матричному вигляді

З другого боку, якщо T – матриця переходу від басилу (7) до басилу (6), то маємо рівність

Використовуючи (9) і (10) маємо:

З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного басилу до іншого завжди є не виродженою матрицею. Якщо є два базиси, то матриці переходу від одного до іншого взаємно обернені.

Нехай в задано два базиси (6) і (7) з матрицею переходу Зв’язок між координатами довільного вектора в цих двох базисах дає формула:

Помноживши рівність (11) зліва на матрицю Т-1 одержимо рівність

яка дає можливість одержати координати вектора в новому базисі е’.

Власні числа і власні вектори матриці.

Нехай деяка квадратна матриця розмірності з дійсними елементами, - деяке невідоме число. Тоді матриця , де Е - оди¬нична матриця називається характеристичною матрицею для матриці А.

Поліном n-го степеня | | називається характеристичним поліном матриці А, а його корені називаються власними числами матриці А.

Можна стверджувати, що подібні матриці мають однакові характерис¬тичні поліноми і, як наслідок, однакові власні числа.

Наслідок: лінійне перетворення в різних базисах має різні матриці, але всі вони мають однакові власні числа. Тому можна твердити, що ліній¬не перетворення характеризується набором власних чисел, які в подаль¬шому будемо називати спектром лінійного перетворення , або спектром матриці А.

Розглянемо лінійне перетворення в просторі таке, що переводить відмінний від нуля вектор в вектор пропорційний самому вектору , тобто:

(1)

Такий вектор будемо називати власним вектором перетворення , а - власним числом, що відповідає цьому власному вектору.

Розглянемо тепер задачу відшукання такого базису для лінійного перетворення , в якому б його матриця мала найпростіший діагональний вигляд.

Будемо вважати, що лінійне перетворення має такий характеристич¬ний поліном, що всі його корені дійсні і різні між собою. Тобто, розв'язавши рівняння n-го порядку | | = 0 будемо мати n-різних дійс¬них коренів . Якщо виконується така умова, то лінійне пере¬творення дійсного лінійного простору має простий спектр.