Загальні питання наближення функцій

ЗАУВАЖЕННЯ.

1. Наближуючи функції узагальненими поліномами, часто цими поліномами обирають степеневі поліноми 1, x, x2, ... . Система {xi} є повною в C [0,1] і не лише повною, але й переповненою. Так, з усіх цих функцій можна залишити лише ті, для яких показник - просте число або нуль, і одержана система залишиться повною. Використання переповнених систем в чисельному аналізі небажане, а на думку багатьох авторитетів у цій галузі і неприпустиме. Тому від системи {xi} необхідно переходити до систем ортогональних поліномів.

2. Задача обчислення значення полінома Pn(x)= для конкретного значення х реалізується схемою Горнера. Записуючи Pn(x) у вигляді Pn(x)= бачимо, що обчислення можна вести за формулою Aj+1=Ajx+ j, j=0,1,...n; A0=0. В підсумку одержуємо An+1=Pn(x).

Схема Горнера є оптимальною в тому відношенні, що потребує мінімально можливого числа множень.

Схему Горнера можна застосовувати і для обчислення значень сум вигляду:

де функції {fk(x)} і f-1(x) задовольняють тричленному рекурентному співідношенню

fk+1(x)+ak(x)fk(x)+bk(x)fk-1(x)=0, k=0,1,..,n

Схема обчислення значення Sn(x) є безпосереднім узагальненням схеми Горнера: будуємо послідовність

Aj= - aj Aj+1 - bj Aj+2, j=n, n-1,..,0: An+1=An+2=0

і одержуємо Sn(x)=A0 f0(x).

ВПРАВИ.

1. Довести, що в лінійному нормованому просторі:

а) множина елементів найкращого наближення опукла;

б) якщо простір строго нормований, то елемент найкращого наближення єдиний.2. Нехай - простір послідовностей дійсних чисел, які прямують до нуля; , якщо де при . Побудувати в замкнений підпростір , що має таку властивість: для будь-якого в підпросторі не існує елементу найкращого наближення.

3. Нехай - система Чебишова і - невироджене лінійне перетворення. Довести, що система функцій , де також є чебишовською.

4. Чи є система функцій чебишовською на ?

5. Довести, що простір є нормованим.

6. Довести, що простір не є строго нормованим.

7. Чи є простір строго нормованим?

8. Довести, що сукупність функцій де - поліном, утворює систему Чебишова на будь-якому відрізку, на якому не має нулів.

9. Довести, що функції утворюють систему Чебишова при якщо

10. Чи є система системою Чебишова ?