Загальні питання наближення функцій

В інших ситуаціях є можливість вибору вхідної інформації. Наприклад, якщо є необхідність багато разів обчислити деяку складну функцію в різних точках, то може бути доцільним обчислити її в декількох заздалегідь визначених точках, а в інших точках обчислювати за деякими простими формулами, що використовують інформацію про відомі значення.

2. Як випливає з розглянутої постановки задачі, найчастіше наближуючими функціями обирають поліноми (алгебраїчні, тригонометричні, експоненційні), рідше їх відношення. Вигляд наближуючої функції істотно залежить від мети наближень. Припустимо, що деяку функцію можна з потрібною точністю наблизити або степеневим поліномом шостого степеня або тригонометричним виразом. Перша форма зручніша для багатократних обчислень на ЕОМ, а друга - для реалізації на моделюючих пристроях або для теоретичних досліджень.

3. Вибір близькості функцій u i v в першу чергу визначається фізичним змістом задачі і лише потім - математичними міркуваннями.

4. Кількісна оцінка точності одержаного наближення до точного розв’язку часто є непростою задачею. Міри точності відповіді залежать від конкретних ситуацій:

- Чи існує не груба і досить проста для практичного використання теоретична оцінка точності ?

- Чи повинен алгоритм давати розв’язок модельної задачі з необхідною кількістю точних знаків ?

- Якою є нев’язка математичного співвідношення після підстановки в нього апроксимуючоі величини замість істинної ?

Таким чином, ми бачимо, що відповіді на ці питання можуть значною мірою впливати на результати, одержані в процесі обчислень.

Досить поширеним на практиці є відоме з курсу аналізу наближення функціІ поліномом Тейлора n-го степеня, яке для u(x) Cn+1[a,b] має вигляд:

Pn(x)= .

В точці x0 це наближення має ту властивість, що всі його похідні до порядку n включно співпадають з відповідними похідними функції u, тобто поліном Тейлора досить добре апроксимує u(x) в околі точки x0. Похибку наближення визначає залишковий член формули Тейлора

u(x) - Pn (x)=

де x [a,b], x* лежить строго між х і х0 .

З припущення, що u(n+1) C[a,b], випливає, що . Тоді з (2) маємо

де l = max ( x-a, b-x ).

Неважко бачити, що похибка наближення функції поліномом Тейлора різко зростає біля кінців відрізку [a,b]. Принаймі це так, якщо u(n+1)(x)=const 0, тобто u(x) - поліном степеня n+1. Тоді u(n+)(x) =Mn+1 і (3) перетворюється в рівність. Крім розкладу функції u(x) за системою функцій 1, (x-x), (x-x )2, ... , функціями v (x) можна обирати спеціальні функції, такі як поліноми Чебишова, Лежандра, Лагерра, функції Бесселя та інші.

При поверхневому розгляді може здатись, що ці розклади неефективні внаслідок труднощів обчислення самих спеціальних функцій. Але відомо, що більшість сімейств спеціальних функцій f (x) задовольняють рекурентному співвідношенню вигляду

fk+1(x) = A(k,x) fk (x) + B(k) fk-1 (x), k=1,2,..,

де коефіцієнти А, В заздалегідь визначені.

Якщо спеціальні функції - поліноми, то, знаючи f0 i f1 , поліноми більш високих степенів обчислити не важче, ніж складові степеневого ряду. Так, наприклад, система поліномів Лежандра, ортогональна на [-1,1], визначається співвідношенням