Загальні питання наближення функцій

u(x) v(x) = i vi (x).

Функції vk задано, а сталі визначаються з умови мінімальності відстані.

Міра відстані визначається простором, в якому розглядається наближення.

Числова множина (u,v)= . при фіксованій функції u обмежена знизу числом 0, тому існу

Елемент v0 , для якого має місце рівність (u)= називається елементом найкращого наближення для u в просторі V або проєкцією u на V.

Теорема. Для будь-якого елементу u лінійного нормованого простору U, в V існує елемент найкращого наближення. Якщо простір U, строго нормований, то цей елемент єдиний

Ми будемо розглядати найкращі наближення в гільбертовому просторі ( середньоквадратичне ), де

= ( dx)1/2

(B - область, в якій задано u та v ), а також в просторі C (рівномірне або чебишовське наближення), де

= .

Замість лінійної апроксимації (1) можна використовувати також раціональну апроксимацію, де

u(x) v(x)= .

Внаслідок того, що раціональний вираз легко програмується, така апроксимація використовується для наближення складних функцій, таких, як, наприклад, функції Бесселя.

Нерідко трапляються випадки, коли раціональна апроксимація з заданим cтепенем точності потребує менше коефіцієнтів, ніж лінійна. Раціональна апроксимація є частинним випадком нелінійної апроксимації функції u(x) виразом вигляду

F(x, )=F(x, 1, 2,..., n),

де F - задана функція, залежна від параметрів j, при цьому j визначаються з умови

=min.

Отже, приступаючи до задачі наближення функції, треба знайти відповіді на такі питання:

1. Якою наявною інформацією ми володіємо?

2. Який клас наближуючих функцій використати?

3. Якою мірою оцінити близькість функцій u та v ?

4. Яка точність потрібна ?

Обговоримо коротко ці питання.1. На практиці наявна інформація про функцію часто задається зовнішніми обставинами, наприклад, коли в незалежні від дослідника моменти часу t1, t2, ... , tm спостерігаються значення функції u(t), і потрібно відновити її значення при інших t.