Загальні питання наближення функцій

Теорія наближень є фундаментом багатьох чисельних методів. Ефективність чисельного алгоритму може у великій мірі залежати від способу наближення шуканого розв’язку. Теорія наближень оформилась у змістовну теорію в ХХ сторріччі, хоча перші результати її були одержані П.Л.Чебишовим в 1853 і 1857 роках, а знамениту теорему Вейєрштрасса доведено в 1885 році.

Основні проблеми обчислювальної математики пов’язані з реалізацією математичних моделей в умовах обмеженої вхідної інформації, коли все, що ми маємо або можемо обчислити - це деякі точки, в яких відомі значення функцїі, причому здебільшого наближено внаслідок похибок різного походження.

Класичний підхід в теорїі наближень полягає у використанні наявної інформації для одержання наближуючої функції, оперувати з якою досить легко. Більша частина класичного чисельного аналізу будується на наближенні поліномами, хоча не для всіх задач це є вигідним.

Визначивши клас наближуючих функцій, треба вибрати з нього одну певну функцію за допомогою деякого критерію. Одним з найпоширеніших є критерій співпадання наближуваної та наближуючої функцій в певних точках. Більш загальний критерій - вимога мінімізації відстані між цими функціями як елементами відповідних функціональних просторів.

Нехай u - заданий елемент нормованого лінійного простору U, а V підпростір в U , що складається з елементів вигляду

v= i vi

де vi - фіксовані лінійно незалежні елементи з V, i - числа.

В залежності від того, належить u простору V, чи ні, виникає дві задачі:

1. u V. Треба визначити коефіцієнти i розкладу u за функціями vi : u= i vi .

2. u V. Для u відшукується наближення вигляду (1), коефіцієнти якого визначаються з умови мінімізації відстані

До 1-го випадку належать різноманітні розвинення функцій в ряди (степеневий, тригонометричний, експоненційний, тощо). Hелінійною задачою такого типу є задача визначення сталих у формулі Крістоффеля-Шварца при конформному відображенні кругової області на многокутник.

До 1-го і 2-го випадків відносяться інтерполяція та апроксимація в різних функціональних просторах.

Припустимо, що в точках xj ( j= ) відомі значення функції uj. Треба відшукати функцію v вигляду (1), яка в даних точках xj найменшим чином відхиляється від значень uj , тобто величини

= uj - i vi

повинні бути мінімальними. Задача полягає у визначенні i.

1. n=m. Якщо det(vk(xj)) 0, то можна одержати =0, визначивши з цієї умови шляхом розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь (ЛАР). Кажуть, що у цьому випадку вираз v= i vi інтерполює функцію u .

Для того, щоб det(vk(xj)) не дорівнював нулю для обраної системи функцій vk(x) і будь-якого набору вузлів xj ( при ) необхідно і достатньо, щоб система функцій була системою Чебишова.

Означення. Система функцій v1(x), v2(x),...,vn(x) називається системою Чебишова на [а,b], якщо будь-який узагальнений поліном i vi (x), у якого хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля, має на [a,b] не більше n нулів.

2. n