Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині та в просторі. Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в просторі, їх геометричний зміст. Системи рівнянь і нерівностей першого степеня

Лінію в полярній системі координат можна задати її рівнянням у вигляді або .

Побудова лінії здійснюється обчисленням за заданими значеннями .

Приклад 1. Побудувати графік функції , (чотирипелюсткова троянда).

Р о з в ’ я з о к. Через те, що , то , тобто вся крива розміщена всередині круга радіуса .

Для побудови графіка досить розглянути у проміжку , бо внаслідок періодичності далі всі значення будуть повторюватись. Значення і вигідно обчислювати, вибравши

певний масштаб для , через певні проміжки для .

Точку (рис.3.4) треба будувати на полярному радіусі. якщо . Наприклад, для маємо (див. точку ),

а для (див. точку ).

Для детальнішого вивчення характеру лінії корисно полярне рівняння записати в прямокутних координатах, користуючись тим, що

Тоді дане рівняння запишеться у вигляді

Звідси видно, що крива симетрична як відносно осі так і відносно осі , тобто вона є центрально - симетричною. Цей факт значно спрощує побудову. Проте побудову лінії в даній задачі краще здійснювати за полярним рівнянням лінії.

Приклад 2. Побудувати графік функції

.

Р о з в ’ я з о к. Побудова графіка в прямокутній системі координат досить важка. Але, якщо перейти до полярних координат, то рівняння стане значно простішим. Справді, введемо полярні координати: . Тоді матимемо

Подальша побудова здійснюється так само, як і у попередньому прикладі. Але, перш ніж приступати до побудови, доцільно за допомогою рівняння в прямокутних координатах встановити, що потрібна крива симетрична як відносно осі , так і відносно осі . Тому криву досить

Рис.3.5 побудувати у першій чверті, а потім

її доповнити центрально- симетричним відображенням

3.2.4. Параметричні рівняння ліній

У деяких випадках, особливо в механіці, рівняння ліній записують так, що координати точки і виражаються як функції деякого допоміжного параметра. Таким параметром у механіці і у фізиці виступає час , тобто рівняння руху матеріальної точки записують у вигляді

Тому такі рівняння і називають параметричними.

Взагалі кажучи, з першого рівняння можна виразити через , тобто . Якщо тепер це значення підставити у друге рівняння, то одержимо

.

Приклад. Дві прямі обертаються навколо двох нерухомих точок, залишаючись весь час взаємно перпендикулярними. Знайти множину точок їх перетину.